Tính tổng các giá trị nguyên của tham số m trên khoảng (-2020;2020) để hàm số y=sin x-3/sin x-m đồng biến trên khoảng...

Question

Tính tổng các giá trị nguyên của tham số m trên khoảng \(\left(-2020;2020\right)\) để hàm số \(y=\frac{\sin x-3}{\sin x-m}\)  đồng biến trên khoảng \(\left(0;\frac{\pi }{4} \right).\)

 A. -2039187.

B. 2022.

C. 2093193.

D. 2021.

Answer 1

Chọn A

 ĐK: \(\sin x\ne m\)

 Ta có

\(y=\frac{\sin x-3}{\sin x-m} \Rightarrow y'=\frac{\cos x\left(\sin x-m\right)-\left(\sin x-3\right)\cos x}{\left(\sin x-m\right)^{2} } =\frac{\left(3-m\right)\cos x}{\left(\sin x-m\right)^{2} } .\)

 Vì \(x\in \left(0;\frac{\pi }{4} \right)\) nên \(\cos x>0;\, \, \sin x\in \left(0;\frac{\sqrt{2} }{2} \right)\)

 Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng

\(\left(0;\frac{\pi }{4} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {3-m>0} \\ {\left[\begin{array}{l} {m\le 0} \\ {m\ge \frac{\sqrt{2} }{2} } \end{array}\right. } \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {m\le 0} \\ {\frac{\sqrt{2} }{2} \le m<3} \end{array}\right. .\)

 Vì \(m\in {\rm Z}\Rightarrow m\in \left\{-2019;-2018;...;-1;0\right\}\cup \left\{1;2\right\}\)

 Vậy tổng các giá trị của tham số m là:

\(S=\frac{-2019+0}{2} .2020+1+2=-2039187.\)