Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-100;100] để hàm số y=(m-1)sin x+(2m+7)x đồng biến trên R.

Question

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn \(\left[-100;100\right]\) để hàm số \(y=\left(m-1\right)\sin x+\left(2m+7\right)x\) đồng biến trên \({\rm R}. \)

 A. 110.

B. 105.

C. 103.

D. 102.

Answer 1

Chọn C
\(y'=\left(m-1\right){\rm cos}\, x+2m+7. \)

Hàm số \(y=\left(m-1\right)\sin x+\left(2m+7\right)x\) đồng biến trên \({\rm R}\)

\(\Leftrightarrow \left(m-1\right){\rm cos}\, x+2m+7\ge 0\)  với mọi \(x\in {\rm R} \left(*\right)\)

Nếu m=1 thì \(\left(*\right) \)luôn đúng.

Nếu m>1 thì \(\left(*\right)\Leftrightarrow {\rm cos}\, x\ge \frac{-2m-7}{m-1}\)  

với mọi \(x\in {\rm R}\Leftrightarrow \frac{-2m-7}{m-1} \le -1\Leftrightarrow m\ge -8.\)

Suy ra m>1 thỏa mãn.

Nếu m<1 thì <span class="math-tex">\(\left(*\right)\Leftrightarrow {\rm cos}\, x\le \frac{-2m-7}{m-1}\)  

với mọi \(x\in {\rm R} \Leftrightarrow \frac{-2m-7}{m-1} \ge 1\Leftrightarrow m\ge -2.\)

Suy ra \(-2\le m<1\) thỏa mãn.

\( \Rightarrow\)  Hàm số \(y=\left(m-1\right)\sin x+\left(2m+7\right)x \) đồng biến trên \({\rm R}\)

khi \(m\ge -2.\)

 Vì m nguyên và \(m\in \left[-100;100\right]\Rightarrow m\in \left\{-2;-1;0;1;...;100\right\}.\)

 Vậy có 103 giá trị nguyên của mthỏa mãn yêu cầu bài toán.