Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số f(x)=(x+m^2)/(x+3m+4) đồng biến trên khoảng...

Question

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(f\left(x\right)=\frac{x+m^{2} }{x+3m+4}\)  đồng biến trên khoảng \(\left(-10;5\right)\)?

A.2.

B. 3.

C. 4.

D. 1.

Answer 1

Chọn A

TXĐ: \(D={\rm R}\backslash \left\{-3m-4\right\}\)
\(f'\left(x\right)=\frac{-m^{2} +3m+4}{\left(x+3m+4\right)^{2} }  \)
Hàm số đồng biến trên \(\left(-10;5\right)\Leftrightarrow f'\left(x\right)>0,{\rm \; }\forall x\in \left(-10;5\right)\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {-m^{2} +3m+4>0} \\ {-3m-4\notin \left(-10;5\right)} \end{array}\right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {m\in \left(-1;4\right)} \\ {\left[\begin{array}{l} {-3m-4\le -10} \\ {-3m-4\ge 5} \end{array}\right. } \end{array}\right.\)\( \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {m\in \left(-1;4\right)} \\ {\left[\begin{array}{l} {m\ge 2} \\ {m\le -3} \end{array}\right. } \end{array}\right. \Leftrightarrow m\in \left[2;4\right) \)
Do \(m\in {\rm Z}\) nên \(m\in \left\{\, 2;3\right\}.\)

Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số m

thỏa mãn yêu cầu bài toán.