Số các giá trị nguyên của m∈[-25;25] để hàm số y=(2m+1)\tan x+1/tan x+m đồng biến trên khoảng...

Question

Số các giá trị nguyên của \(m\in \left[-25;25\right]\) để hàm số \(y=\frac{\left(2m+1\right)\tan x+1}{\tan x+m}\)  đồng biến trên khoảng \(\left(0;\frac{\pi }{2} \right)\) là 

A. 30.

B. 25.

C. 20.

D. 24.

Answer 1

Chọn B

Điều kiện xác định: \(\tan x\ne -m. \)

Ta có \(y'=\frac{2m^{2} +m-1}{\cos ^{2} x\left(\tan x+m\right)^{2} } .\)

Hàm số \(y=\frac{\left(2m+1\right)\tan x+1}{\tan x+m}  \)đồng biến

trên \(\left(0;\frac{\pi }{2} \right) \Leftrightarrow y'>0,\; \; \forall x\in \left(0;\frac{\pi }{2} \right).\)
\(\Leftrightarrow \frac{2m^{2} +m-1}{\cos ^{2} x\left(\tan x+m\right)^{2} } >0,\; \forall x\in \left(0;\frac{\pi }{2} \right)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {2m^{2} +m-1>0} \\ {-m\le 0} \end{array}\right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {\left[\begin{array}{l} {m<-1} \\ {m>\frac{1}{2} } \end{array}\right. } \\ {m\ge 0} \end{array}\right. \Leftrightarrow m>\frac{1}{2} .  \)
Kết hợp điều kiện \(m>\frac{1}{2}\)  với điều kiện m là số nguyên

và \(m\in \left[-25;25\right] \) ta được \(m\in \left\{1;2;3;...;25\right\}.\)

Vậy có 25 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.