Xét các số phức z, w thỏa mãn |z|=2, |iw-2+5i|=1. Giá trị nhỏ nhất của |z^2-wz-4| bằng

Question

Xét các số phức z, w thỏa mãn \(\left|z\right|=2, \left|iw-2+5i\right|=1\). Giá trị nhỏ nhất của \(\left|z^{2} -wz-4\right|\) bằng 

\(A. 4. \)

\(B. 2\left(\sqrt{29} -3\right). \)

\(C. 8. \)

\(D. 2\left(\sqrt{29} -5\right).\)

Answer 1

Chọn C

Đặt \(z=a+bi, w=c+di\, \left(a\, ,\, b\, ,\, c\, ,\, d\, \in {\rm R}\right)\).

Từ giả thiết, ta có :
\(\left\{\begin{array}{l} {a^{2} +b^{2} =4} \\ {\left(c+5\right)^{2} +\left(d+2\right)^{2} =1} \end{array}\right. \, \Rightarrow \, \left\{\begin{array}{l} {a\, ,\, b\, \in \left[-2\, ;\, 2\right]} \\ {c\, \in \left[-6\, ;\, -4\right]\, ,\, d\in \left[-3\, ;\, -1\right]} \end{array}\right. . \)
Ta có : 
\(T=\left|z^{2} -wz-4\right|=\left|z^{2} -wz-\left|z\right|^{2} \right|\)

\(=\left|z^{2} -wz-z\, .\, \overline{z}\right|=\left|z\right|\, .\, \left|z-\overline{z}-w\right|\)

\(=2.\, \left|z-\overline{z}-w\right| \)
\(\Rightarrow T=2\left|2bi-\left(c+di\right)\right|=2\sqrt{\left(2b-d\right)^{2} +c^{2} } \ge 2\sqrt{c^{2} }\)

\( =2\left|c\right|\ge 8\, \left(\, do\, c\, \in \left[-6\, ;\, -4\right]\right).\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

\(\left\{\begin{array}{l} {c=-4} \\ {2b-d=0} \\ {\left(c+5\right)^{2} +\left(d+2\right)^{2} =1} \end{array}\right. \, \Rightarrow \, \left\{\begin{array}{l} {c=-4} \\ {d=-2} \\ {b=-1} \end{array}\right. .\)

Vậy \( \left|z^{2} -wz-4\right|\) có giá trị nhỏ nhất bằng 8.