Cho số phức z thỏa mãn |z-4+x|+|z-z| >= 4 và số phức w=(z-2i)(zi+2-4i) có phần ảo là số thực không dương...

Question

Cho số phức z thỏa mãn \(\left|z-4+\overline{z}\right|+\left|z-\overline{z}\right|\ge 4\) và số phức \({\rm w}=(z-2i)(\overline{z}i+2-4i)\) có phần ảo là số thực không dương. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy hình phẳng \(\left(H\right)\) là tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z. Diện tích của hình \(\left(H\right)\) gần nhất với số nào sau đây?

A. 7.  

B. 17.

C. 21.  

D. 193.

Answer 1

Chọn B

Gọi \(z=x+yi;\, x,y\in {\rm R}\) biểu diễn trên

mặt phẳng tọa độ Oxy bởi điểm \(M\left(x;y\right)\)

Ta có

\(\left|z-4+\overline{z}\right|+\left|z-\overline{z}\right|\ge 4\Leftrightarrow \left|2x-4\right|+\left|2y\right|\ge 4\Leftrightarrow \left|x-2\right|+\left|y\right|\ge 2\, \)

\(x\ge 2,y\ge 0\) thì \((1)\Rightarrow x+y\ge 4\) 

\(x\le 2,y\ge 0\) thì \((1)\) \(\Rightarrow -x+y\ge 0 \)

\(x\le 2,y\le 0\) thì \((1)\Rightarrow -x-y\ge 0 \)

\(x\ge 2,y\le 0 \) thì \((1)\Rightarrow x-y\ge 4 \)

Suy ra M thuộc miền ngoài hình vuông OABC\((1)\)

Lại có
\(\begin{array}{l} {{\rm w}=\left(z-2i\right)\left(\overline{z}i+2-4i\right)} \\ {\, \, \, \, \, =\left[x+\left(y-2\right)i\right]\left[\left(y+2\right)+\left(x-4\right)i\right]} \\ {\, \, \, \, \, =x\left(x+2\right)-\left(x-4\right)\left(y-2\right)+\left[x\left(x-4\right)+\left(y-2\right)\left(y+2\right)\right]i} \end{array}\)
Theo giả thiết ta có

\(x\left(x-4\right)+\left(y-2\right)\left(y+2\right)\le 0\Leftrightarrow \left(x-2\right)^{2} +y^{2} \le 8\)

Suy ra M thuộc hình tròn tâm \(I\left(2;0\right)\) bán kính \(R=2\sqrt{2} (2)\)

Từ \((1) \) và \((2)\) suy ra diện tích cần tính là:  \(S=8\pi -8\approx 17,13.\)