Cho số phức z thỏa mãn (1+2i)|z|=√10/z -2+i. Đặt w=(3-4i)z-1+2i. Tính giá trị của biểu thức T=min|w|+max|w|.

Question

Cho số phức z thỏa mãn \((1+2i)\left|z\right|=\frac{\sqrt{10} }{z} -2+i.\) Đặt \(\omega =(3-4i)z-1+2i.\) Tính giá trị của biểu thức \(T=\min \left|\omega \right|+\max \left|\omega \right|.\)

A. \(T=2\sqrt{5}. \)

B. T=10.

C. T=5.

D. \(T=5\sqrt{2}.\)

Answer 1

Chọn B 

Ta có

\((1+2i)\left|z\right|=\frac{\sqrt{10} }{z} -2+i\Leftrightarrow (1+2i)\left|z\right|+2-i=\frac{\sqrt{10} }{z} \)

\( \Leftrightarrow \left|(1+2i)\left|z\right|+2-i\right|=\frac{\sqrt{10} }{\left|z\right|} \)

Đặt \(\left|z\right|=t,\, t\ge 0\Rightarrow \left|(t+2)+(2t-1)i\right|=\frac{\sqrt{10} }{t} \)

\(\Leftrightarrow \sqrt{(t+2)^{2} +(2t-1)^{2} } =\frac{\sqrt{10} }{t} \)
\(\Leftrightarrow t^{4} +t^{2} -2=0\Leftrightarrow t^{2} =1\)
Khi đó \( \left|z\right|^{2} =1\), tập hợp điểm M biểu diễn cho

số phức z là đường tròn \((O\, ;\, R=1).\)

Mặt khác: \(\omega =(3-4i)z-1+2i=(3-4i)\left(z+\frac{-1+2i}{3-4i} \right)\)
\(\Leftrightarrow \omega =(3-4i)\left(z-\frac{11-2i}{25} \right)\)

\(\Leftrightarrow \left|\omega \right|=5\left|z-\left(\frac{11}{25} -\frac{2}{25} i\right)\right|=5MN \)
Với N là điểm biểu diễn số phức \(z_{1} =\frac{11}{25} -\frac{2}{25} i\)
\(\left|\omega \right|_{\min } =\left(5MN\right)_{\min } =5\left|ON-R\right|\)

\(=5\left(1-\sqrt{\left(\frac{11}{25} \right)^{2} +\left(-\frac{2}{25} \right)^{2} } \right)=5-\sqrt{5} \)
\(\left|\omega \right|_{max} =\left(5MN\right)_{{\rm max}} =5(ON+R)\)

\(=5\left(1+\sqrt{\left(\frac{11}{25} \right)^{2} +\left(-\frac{2}{25} \right)^{2} } \right)=5+\sqrt{5}  \)
Vậy \(T=\min \left|\omega \right|+\max \left|\omega \right|=10.\)