Cho số phức z không phải là số thực và z^2 -2z+4/z^2+2z+4 là số thực. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn...

Question

Cho số phức z không phải là số thực và \(\frac{z^{2} -2z+4}{z^{2} +2z+4}\)   là số thực. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left|z+\overline{z}\right|+\left|z-\overline{z}\right|=\left|z^{2} \right| .\)

A.0.

B. 2.

C.4.

D. 8. 

Answer 1

Chọn  B
Điều kiện: \(z^{2} +2z+4\ne 0\Leftrightarrow z\ne -1\pm \sqrt{3} .i. loại\)

Vì số phức z không phải là số thực nên \(\frac{z^{2} -2z+4}{z^{2} +2z+4} \ne 1;\)

Đặt \(w=\frac{z^{2} -2z+4}{z^{2} +2z+4} \ne 1.\)

Ta có \(w.z^{2} +2w.z+4w=z^{2} -2z+4\)

\(\Leftrightarrow z^{2} +\frac{2\left(w+1\right)}{w-1} .z+4=0 (1)\)

Vì w là số thực khác 1 nên \((1)\) là phương trình bậc hai

với hệ số thực. Vì tồn tại số phức z không thực nên \((1)\)

có hai nghiệm phức \(z_{1} ,\, z_{2}\)  không thực.

Do đó \(\left|z_{1} \right|=\left|z_{2} \right|=\sqrt{4} =2\Rightarrow \left|z\right|=2.\)

Đặt \(z=a+bi\, \left(b\ne 0\right).\)

Ta có \(\left|z+\overline{z}\right|+\left|z-\overline{z}\right|=\left|z^{2} \right|\Leftrightarrow \left|2a\right|+\left|2b\right|=4\Leftrightarrow \left|a\right|+\left|b\right|=2.\)
Ta có hệ \(\left\{\begin{array}{l} {\left|a\right|+\left|b\right|=2} \\ {a^{2} +b^{2} =4} \end{array}\right.\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {\left\{\begin{array}{l} {\left|a\right|=0} \\ {\left|b\right|=2} \end{array}\right. } \\ {\left\{\begin{array}{l} {\left|a\right|=2} \\ {\left|b\right|=0\, } \end{array}\right. } \end{array}\right. \)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {a=0} \\ {\left[\begin{array}{l} {b=2} \\ {b=-2} \end{array}\right. } \end{array}\right.  (vì b\ne 0 ).\)

Vậy có hai số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(z=2i,\, z=-2i . \)