​Gọi H là giới hạn bởi hàm số y=căn x và x-2y=0. V khối tròn xoay khi quay H quanh Ox: ​

Question

Gọi \( \left(H\right)\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\sqrt{x} \) và đường thẳng x-2y=0. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay \(\left(H\right)\) quanh trục Ox bằng:

 A. \(8\pi (đvtt).\)

B. \(\frac{16\pi }{3} (đvtt). \)

C. \(\frac{8\pi }{3} (đvtt).\)

D. \(\frac{18\pi }{15} (đvtt).\)

Answer 1

Chọn C

Ta có \(x-2y=0\Leftrightarrow y=\frac{x}{2} \).

Xét phương trình  \(\sqrt{x} =\frac{x}{2} \, \, \Leftrightarrow \, \, \left\{\begin{array}{l} {x\ge 0} \\ {x=\frac{x^{2} }{4} } \end{array}\right. \, \, \Leftrightarrow \, \, \left\{\begin{array}{l} {x\ge 0} \\ {\left[\begin{array}{l} {x=0} \\ {x=4} \end{array}\right. } \end{array}\right. \, \, \Leftrightarrow \, \, \left[\begin{array}{l} {x=0} \\ {x=4\, .} \end{array}\right. \)

Vẽ đồ thị các hàm số \(y=\sqrt{x} và y=\frac{x}{2}\)  trên cùng một hệ trục tọa độ, khi đó thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox bằng
\(V=\pi \int _{0}^{4}\left(\sqrt{x} \right)^{2} dx-\, \,  \pi \int _{0}^{4}\left(\frac{x}{2} \right)^{2} dx =\pi \left(\frac{x^{2} }{2} -\frac{x^{3} }{12} \right)\left|\begin{array}{l} {4} \\ {0} \end{array}\right. =\frac{8\pi }{3} \)