Cho đồ thị (C):y=f(x)=√x . Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), đường thẳng x=9 và trục Ox..

Question

Cho đồ thị \(\left(C\right):y=f\left(x\right)=\sqrt{x}\) . Gọi \(\left(H\right)\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \( \left(C\right)\), đường thẳng \(x=9\) và trục Ox. Cho điểm M thuộc đồ thị \(\left(C\right)\) và điểm \( A\left(0;9\right)\). Gọi \(V_{1}\)  là thể tích khối tròn xoay khi cho \(\left(H\right)\) quay quanh trục Ox, \(V_{2} \) là thể tích khối tròn xoay khi cho tam giác AOM quay quanh trục Ox. Biết rằng \(V_{1} =2V_{2}\) . Tính diện tích S phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left(C\right) \) và đường thẳng OM.

A. \(S=3\).

B. \(S=\frac{27\sqrt{3} }{16} \).

C. \(S=\frac{3\sqrt{3} }{2}\) .

D. \(S=\frac{4}{3}\) .
 

Answer 1

Chọn B

Thể tích khối tròn xoay khi cho\( \left(H\right)\) quay quanh trục

\(V_{1} =\pi \int _{0}^{9}\left(\sqrt{x} \right)^{2} dx=\pi . \int _{0}^{9}xdx =\frac{1}{2} \pi .\left. x^{2} \right|_{0}^{9} =\frac{81}{2} \pi \)

 

Gọi \(M\left(x_{0} ;\sqrt{x_{0} } \right)\) thuộc đồ thị \(\left(C\right)\) và \(0<x_{0} <9\),

khi đó hình chiếu H của M trên trục có tọa độ \(H\left(x_{0} ;0\right)\).

 

Khối tròn xoay khi cho tam giác AOM quay quanh trục Ox gồm

khối tròn xoay sinh bởi các tam giác \(\Delta HOM\) và \(\Delta AMH.\)

 

Phương trình đường thẳng \(OM: y=\frac{x}{\sqrt{x_{0} } } \).

 

Phương trình đường thẳng \(AM: y=\sqrt{x_{0} } .\frac{x-9}{x_{0} -9} =\frac{\sqrt{x_{0} } }{x_{0} -9} \left(x-9\right).\)

 

Thể tích khối tròn xoay khi cho tam giác \(\Delta HOM\)

quay quanh trục Ox:
\(V_{2.1} =\pi \int _{0}^{x_{0} }\left(\frac{x}{\sqrt{x_{0} } } \right)^{2} dx\)

\(=\frac{\pi }{x_{0} } . \int _{0}^{x_{0} }x^{2} dx \)

\(=\frac{1}{3x_{0} } \pi .\left. x^{3} \right|_{0}^{x_{0} } \)

\(=\frac{x_{0}^{2} }{3} \pi .\)

Thể tích khối tròn xoay khi cho tam giác \(\Delta AMH\)

quay quanh trục Ox:
\({V_{2.2} =\pi \int _{x_{0} }^{9}\left(\sqrt{x_{0} } .\frac{x-9}{x_{0} -9} \right)^{2} dx}\)

\({=\frac{x_{0} \pi }{\left(x_{0} -9\right)^{2} } . \int _{x_{0} }^{9}\left(x-9\right)^{2} dx } \)
\({=\frac{x_{0} }{3\left(x_{0} -9\right)^{2} } \pi .\left. \left(x-9\right)^{3} \right|_{x_{0} }^{9} } \\ {=-\frac{x_{0}^{} }{3} \pi \left(x_{0} -9\right)=\frac{1}{3} \pi x_{0} \left(9-x_{0} \right).}  \)

Thể tích: \(V_{2} =V_{2.1} +V_{2.2} =\frac{x_{0}^{2} }{3} \pi +\frac{1}{3} \pi x_{0} \left(9-x_{0} \right)=3\pi x_{0} \)

Theo đề ra:
\(V_{1} =2V_{2} \Leftrightarrow \frac{81\pi }{2} =3\pi x_{0} \Leftrightarrow x_{0} =\frac{27}{4} \)

Diện tích S phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left(C\right)\)

và đường thẳng OM:
\(S=\int _{0}^{\frac{27}{4} }\left(\sqrt{x} -\frac{x}{\sqrt{\frac{27}{4} } } \right)dx =\left. \left(\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2} } -\frac{x^{2} }{2.\frac{\sqrt{27} }{2} } \right)\right|_{0}^{\frac{27}{4} } \)

\({=\frac{2}{3} .\sqrt{\left(\frac{27}{4} \right)^{3} } -\frac{\left(\frac{27}{4} \right)^{2} }{\sqrt{27} } =\frac{27\sqrt{3} }{16}}  \)