Cho đồ thị C):y=f(x)=√x . Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), đường thẳng x=9 và...

Question

Cho đồ thị \(\left(C\right):y=f\left(x\right)=\sqrt{x}\) . Gọi \(\left(H\right)\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left(C\right)\), đường thẳng x=9 và trục Ox. Cho điểm M thuộc đồ thị \(\left(C\right)\) và điểm \(A\left(0;9\right)\). Gọi \(V_{1}\)  là thể tích khối tròn xoay khi cho \(\left(H\right)\) quay quanh trục Ox, \(V_{2}\)  là thể tích khối tròn xoay khi cho tam giác AOM quay quanh trục Ox. Biết rằng \(V_{1} =2V_{2}\) . Tính diện tích S phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left(C\right)\) và đường thẳng OM.

\(A. S=3.\)

\(B. S=\frac{27\sqrt{3} }{16} .\)

\(C. S=\frac{3\sqrt{3} }{2} .\)

\(D. S=\frac{4}{3} .\)

Answer 1

Chọn B

Thể tích khối tròn xoay khi cho \(\left(H\right)\) quay quanh trục

\(V_{1} =\pi \int _{0}^{9}\left(\sqrt{x} \right)^{2} dx=\pi . \int _{0}^{9}xdx =\frac{1}{2} \pi .\left. x^{2} \right|_{0}^{9} =\frac{81}{2} \pi \)

Gọi \(M\left(x_{0} ;\sqrt{x_{0} } \right)\) thuộc đồ thị \(\left(C\right)\) và \(0<x_{0} <9\),

khi đó hình chiếu H của M trên trục có tọa độ \(H\left(x_{0} ;0\right).\)

Khối tròn xoay khi cho tam giác AOM quay quanh trục Ox

gồm khối tròn xoay sinh bởi các \(\Delta HOM\) và \(\Delta AMH.\)

Phương trình đường thẳng \(OM: y=\frac{x}{\sqrt{x_{0} } } .\)

Phương trình đường thẳng \(AM: y=\sqrt{x_{0} } .\frac{x-9}{x_{0} -9} =\frac{\sqrt{x_{0} } }{x_{0} -9} \left(x-9\right).\)

Thể tích khối tròn xoay khi cho tam giác \(\Delta HOM\) quay quanh trục Ox:
\(V_{2.1} =\pi \int _{0}^{x_{0} }\left(\frac{x}{\sqrt{x_{0} } } \right)^{2} dx=\frac{\pi }{x_{0} } . \int _{0}^{x_{0} }x^{2} dx =\frac{1}{3x_{0} } \pi .\left. x^{3} \right|_{0}^{x_{0} } =\frac{x_{0}^{2} }{3} \pi .\)
Thể tích khối tròn xoay khi cho tam giác \(\Delta AMH\) quay quanh trục Ox:
\(\begin{array}{l} {V_{2.2} =\pi \int _{x_{0} }^{9}\left(\sqrt{x_{0} } .\frac{x-9}{x_{0} -9} \right)^{2} dx=\frac{x_{0} \pi }{\left(x_{0} -9\right)^{2} } . \int _{x_{0} }^{9}\left(x-9\right)^{2} dx =\frac{x_{0} }{3\left(x_{0} -9\right)^{2} } \pi .\left. \left(x-9\right)^{3} \right|_{x_{0} }^{9} } \\ {=-\frac{x_{0}^{} }{3} \pi \left(x_{0} -9\right)=\frac{1}{3} \pi x_{0} \left(9-x_{0} \right).} \end{array}. \)
Thể tích: \(V_{2} =V_{2.1} +V_{2.2} =\frac{x_{0}^{2} }{3} \pi +\frac{1}{3} \pi x_{0} \left(9-x_{0} \right)=3\pi x_{0} \)

Theo đề ra:
\(V_{1} =2V_{2} \Leftrightarrow \frac{81\pi }{2} =3\pi x_{0} \Leftrightarrow x_{0} =\frac{27}{4} \)
Diện tích S phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left(C\right)\) và đường thẳng OM:
\(S=\int _{0}^{\frac{27}{4} }\left(\sqrt{x} -\frac{x}{\sqrt{\frac{27}{4} } } \right)dx =\left. \left(\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2} } -\frac{x^{2} }{2.\frac{\sqrt{27} }{2} } \right)\right|_{0}^{\frac{27}{4} } =\frac{2}{3} .\sqrt{\left(\frac{27}{4} \right)^{3} } -\frac{\left(\frac{27}{4} \right)^{2} }{\sqrt{27} } =\frac{27\sqrt{3} }{16} \)