​ Cho hàm số y=13x3+mx2−2x−2m−13 (C). Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (C),y=0;x=0;x=2. Tìm m∈(0;56) để S(H)=4

Question

Cho hàm số \(y=\frac{1}{3} x^{3} +mx^{2} -2x-2m-\frac{1}{3}\)  có đồ thị \(\left(C\right)\). Gọi \(\left(H\right)\) là hình phẳng giới hạn bởi \(\left(C\right)\), các đường thẳng \(y=0;\, x=0;\, x=2\). Tìm giá trị \(m\in \left(0;\frac{5}{6} \right)để S\left(H\right)=4(đvdt). \)    

 A. \(m=\frac{1}{3} .\)

B. \(m=\frac{1}{2}\) .

C. \(m=\frac{2}{3}\) .

D.\( m=\frac{3}{4} .\)

Answer 1

 Chọn B

 Diện tích hình phẳng cần tìm là \(S=\int _{0}^{2}\left|\frac{1}{3} x^{3} +mx^{2} -2x-2m-\frac{1}{3} \right| {\rm d}x. \eqref{GrindEQ__1_}\)

 Cách 1: Xét hàm số \(f\left(x\right)=\frac{1}{3} x^{3} +mx^{2} -2x-2m-\frac{1}{3} \)

 Có \(f'\left(x\right)=x^{2} +2mx-2,\, f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x_{1} =-m-\sqrt{m^{2} +2} } \\ {x_{2} =-m+\sqrt{m^{2} +2} } \end{array}\right. .\)

 Vì \(m\in \left(0;\frac{5}{6} \right)\) nên \( x_{1} <0,\, 0<x_{2} <2. \)Ta có bảng biến thiên sau:

 Do \(m\in \left(0;\frac{5}{6} \right)nên y\left(0\right)=-2m-\frac{1}{3} <0,\, \, y\left(2\right)=2m-\frac{5}{3} <0.\)

Dựa vào bảng biến thiên suy ra \(y<0,\, \forall x\in \left(0;2\right).\)

Do đó \(S=-\int _{0}^{2}\left(\frac{1}{3} x^{3} +mx^{2} -2x-2m-\frac{1}{3} \right) {\rm d}x=-\left(\frac{1}{12} x^{4} +\frac{m}{3} x^{3} -x^{2} -\left(2m+\frac{m}{3} \right)x\right)\left|\begin{array}{l} {2} \\ {0} \end{array}\right. =\frac{4m+10}{3} \)

Theo đề bài \(S=4\Leftrightarrow \frac{4m+10}{3} =4\Leftrightarrow m=\frac{1}{2} .\)

Cách 2: Nhập vào máy tính biểu thức \(\int _{0}^{2}\left|\frac{1}{3} X^{3} +AX^{2} -2X-2A-\frac{1}{3} \right| {\rm d}x , \)sau đó dùng lệnh CALC.                           Máy tính hỏi A?. Ta thử lần lượt cho A các giá trị của m. Giá trị nào cho kết quả tích phân bằng là phương án lựa chọn.