Có bao nhiêu số nguyên y trong [-2021;2021] sao cho bpt (10x)y+logx10≥101110logx đúng với mọi x thuộc (1;100) ​

Question

Có bao nhiêu số nguyên y trong đoạn [-2021;2021] sao cho bất phương trình \(\left(10x\right)^{y+\frac{\log x}{10} } \ge 10^{\frac{11}{10} \log x}\) đúng với mọi x thuộc (1;100)

A. 2021

B. 4026

C. 2013

D. 4036
 

Answer 1

Chọn A
\(\left(10x\right)^{y+\frac{\log x}{10} } \ge 10^{\frac{11}{10} \log x} \Leftrightarrow \left(y+\frac{\log x}{10} \right)\log \left(10x\right)\ge \frac{11}{10} \log x\Leftrightarrow \left(y+\frac{\log x}{10} \right)\left(1+\log x\right)\ge \frac{11}{10} \log x\, \, \left(1\right).\)
Đặt \(\log x=t\). Ta có \(x\in \left(1;100\right)\Rightarrow \log x\in \left(0;2\right)t\in \left(0;2\right)\). Bất phương trình trở thành
\(\left(y+\frac{t}{10} \right)\left(t+1\right)\ge \frac{11}{10} t\, \, \left(2\right)\Leftrightarrow y\left(t+1\right)\ge \frac{-t^{2} +10t}{10} \Leftrightarrow \frac{-t^{2} +10t}{10\left(t+1\right)} \le y\, \, \, \, \left(2\right).\)
Xét hàm số \(f\left(t\right)=\frac{-t^{2} +10t}{10\left(t+1\right)}\)  trên khoảng\( \left(0;2\right),\) ta có \(f'\left(t\right)=\frac{-t^{2} -2t+10}{10\left(t+1\right)^{2} } \)
\(\Rightarrow f'\left(t\right)>0,\, \, \forall t\in \left(0;2\right) \Rightarrow f\left(0\right)<f\left(t\right)<f\left(2\right),\, \, \forall t\in \left(0;2\right) \Leftrightarrow 0<f\left(t\right)<\frac{8}{15} ,\, \, \forall t\in \left(0;2\right).\)
Yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow \left(2\right) đúng với mọi t\in \left(0;2\right)\Leftrightarrow f\left(t\right)\le y,\, \, \forall t\in \left(0;2\right)\Leftrightarrow y\ge \frac{8}{15} \)

Kết hợp với điều kiện \(y\in \left[-2021;2021\right]\Rightarrow y\in \left[\frac{8}{15} ;2021\right]. \)Vậy có tất cả 2021 giá trị nguyên của y thỏa mãn yêu cầu bài toán.