​Có bao nhiêu giá trị nguyên của m với m>1 sao cho tồn tại số thực x thỏa mãn:(mlog5x+3)log5m=x−3(1) ​

Question

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m với m>1 sao cho tồn tại số thực x thỏa mãn: \(\left(m^{\log _{5} x} +3\right)^{\log _{5} m} =x-3\, \, \, \, \, \left(1\right)\)

A. 4

B. 3

C. 5

D. 8
 

Answer 1

Chọn B

Điều kiện:x>0

Đặt \(m^{\log _{5} x} +3=u\) thay vào phương trình (1) ta được: \(u^{\log _{5} m} =x-3\Leftrightarrow x=u^{\log _{5} m} +3.\)

Vì \(u^{\log _{5} m} =m^{\log _{5} u} \). Từ đó ta có hệ Phương trình \(\left\{\begin{array}{c} {u=m^{\log _{5} x} +3} \\ {x=u^{\log _{5} m} +3} \end{array}\right. \)

Xét hàm đặc trưng\( f\left(t\right)=m^{t} +3\) trên R

Do m>1. Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên R

Do đó, \(f\left(\log _{5} x\right)=f\left(\log _{5} u\right)\Leftrightarrow x=u\)

Vì thế, ta đưa về xét phương trình: \(x=m^{\log _{5} x} +3\Leftrightarrow x=x^{\log _{5} m} +3\Leftrightarrow x-3=x^{\log _{5} m} \)
\(\Leftrightarrow \log _{5} \left(x-3\right)=\log _{5} \left(x^{\log _{5} m} \right)\Leftrightarrow \log _{5} \left(x-3\right)=\log _{5} x.\log _{5} m\Leftrightarrow \log _{5} m=\frac{\log _{5} \left(x-3\right)}{\log _{5} x} \)
Do x>0 nên x-3\(\log _{5} m=\frac{\log _{5} \left(x-3\right)}{\log _{5} x} <1\Leftrightarrow m<5\)

Suy ra \(\left\{\begin{array}{c} {m\in {\rm Z}} \\ {1<m<5} \end{array}\right. \Rightarrow m\in \left\{2,3,4\right\}\)

Vậy, có 3 giá trị tham số m thỏa mãn.