Gọi E và F lần lượt là trung điểm của BC và CD. Tính bán kính R của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ECF.

Question

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của BC và CD. Tính bán kính R của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ECF. 

\(A.R=\frac{a\sqrt{119} }{7} . B. R=\frac{a\sqrt{31} }{12} . \)

\(C. R=\frac{a\sqrt{93} }{12} . D. R=\frac{a\sqrt{119} }{14} .\)
 

Answer 1

Chọn C

Chọn hệ tọa độ \({\rm Ox}yz\) như hình vẽ ( O là trung điểm của AB) sao cho \(S\left(0;0;\frac{a\sqrt{3} }{2} \right), E\left(\frac{a}{2} ;\frac{a}{2} ;0\right)\)

\(C\left(\frac{a}{2} ;a;0\right), F\left(0;a;0\right)\Rightarrow I\left(\frac{a}{4} ;\frac{3a}{4} ;0\right)\) là trung điểm của EF.

Khi đó đường thẳng \(\Delta\)  là trục của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ECF\) có phương trình là \(\left\{\begin{array}{l} {x=\frac{a}{4} } \\ {y=\frac{3a}{4} } \\ {z=t} \end{array}\right. ,t\in R\Rightarrow J(\frac{a}{4} ;\frac{3a}{4} ;t)\) ( với J là tâm khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ECF).

Ta có \(\overrightarrow{SJ}=\left(\frac{a}{4} ;\frac{3a}{4} ;t-\frac{a\sqrt{3} }{2} \right); \overrightarrow{CJ}=\left(-\frac{a}{4} ;-\frac{a}{4} ;t\right)\)

Mà\( SJ^{2} =CJ^{2} \Leftrightarrow \frac{a^{2} }{16} +\frac{9a^{2} }{16} +(t-\frac{a\sqrt{3} }{2} )^{2} =\frac{a^{2} }{16} +\frac{a^{2} }{16} +t^{2} \Leftrightarrow t=\frac{5a\sqrt{3} }{12} \)
\(\[\Rightarrow R^{2} =CI^{2} =\frac{a^{2} }{16} +\frac{a^{2} }{16} +\frac{75a^{2} }{144} =\frac{93a^{2} }{144} \Rightarrow R=\frac{a\sqrt{93} }{12} \] \)