Cho 4 quả cầu cùng r=a được xếp đôi một tiếp xúc nhau. Hình tứ diện ABCD tiếp xúc với 3 quả cầu. Tính V ABCD.

Question

Cho 4 quả cầu cùng bán kính a được xếp đôi một tiếp xúc nhau. Hình tứ diện ABCD có các mặt tiếp xúc với 3 quả cầu. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

\(A. \frac{\sqrt{2} \left(1+\sqrt{6} \right)^{3} a^{3} }{3} . B. \frac{2\sqrt{2} \left(1+\sqrt{6} \right)^{3} a^{3} }{3} .\)

\(C. \frac{\sqrt{2} \left(1+\sqrt{3} \right)^{3} a^{3} }{6} . D. \frac{2\sqrt{3} \left(1+\sqrt{6} \right)^{3} a^{3} }{3} .\)
 

Answer 1

Chọn B

Gọi \(O_{1} O_{2} O_{3} O_{4} \) lần lượt là tâm các quả cầu. Suy ra tứ diện \(O_{1} O_{2} O_{3} O_{4} \)  là tứ diện đều có cạnh bằng 2a. Gọi G là tâm tứ diện đều \(O_{1} O_{2} O_{3} O_{4} \) thì G cũng là tâm tứ diện đều ABCD.

Do (BCD) tiếp xúc với ba quả cầu tâm \(O_{2} ;O_{3} ;O_{4}\)  bán kính a và IJ vuông góc với hai mặt phẳng \(\left(O_{2} O_{3} O_{4} \right)\) và (BCD) nên IJ=a.

Tứ diện đều \(O_{1} O_{2} O_{3} O_{4}\)  có cạnh bằng 2a\( \Rightarrow GI=\frac{1}{4} O_{1} I=\frac{1}{4} \frac{2a\sqrt{2} }{\sqrt{3} } =\frac{a\sqrt{6} }{6} .\)
\(\[\Rightarrow GJ=GI+IJ=a+\frac{a\sqrt{6} }{6} =\frac{a\left(\sqrt{6} +6\right)}{6} .\] \)
Gọi x là cạnh của tứ diện đều ABCDthì \(GJ=\frac{1}{4} AJ=\frac{1}{4} .\frac{x\sqrt{2} }{\sqrt{3} } =\frac{x\sqrt{6} }{12} \)
\(\[\frac{x\sqrt{6} }{12} =\frac{a\left(\sqrt{6} +6\right)}{6} \Leftrightarrow x=2a\left(1+\sqrt{6} \right).\] \)
Vậy \(V_{ABCD} =\frac{x^{3} \sqrt{2} }{12} =\frac{8\sqrt{2} a^{3} \left(1+\sqrt{6} \right)^{3} }{12} =\frac{2\sqrt{2} a^{3} \left(1+\sqrt{6} \right)^{3} }{3} .\)