ABCD.A'B'C'D'có đáy ABCD là hình bình hành tâm Ovà AD=2AB=2a; cos(AOBˆ)=35.tính V khối hộp ABCD.A'B'C'D'.

Question

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'có đáy ABCD là hình bình hành tâm Ovà AD=2AB=2a; \(\cos \left(\widehat{AOB}\right)=\frac{3}{5} .\) Gọi E, Flần lượt là trung điểm BC và AD. Biết rằng \(CD'\bot CF; BB'\bot ED\)và khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và AA' là \(a\sqrt{3} \), tính thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D'.

A. \frac{3a^{3} \sqrt{3} }{2} . B. \frac{a^{3} \sqrt{3} }{3} . C. 3a^{3} \sqrt{3} . D. a^{3} \sqrt{3} .
 

Answer 1

Chọn D

Đặt OB=x. 

\(\Delta ABD \)có AO là trung tuyến\(\Rightarrow OA=\sqrt{\frac{AB^{2} +AD^{2} }{2} -\frac{BD^{2} }{4} } =\frac{\sqrt{10a^{2} -4x^{2} } }{2} .\)

Áp dụng định lí cô sin\( \Delta AOB:\cos \left(\widehat{AOB}\right)=\frac{3}{5} \Rightarrow \frac{x^{2} +\frac{10a^{2} -4x^{2} }{4} -a^{2} }{2x\frac{\sqrt{10a^{2} -4x^{2} } }{2} } =\frac{3}{5} \Rightarrow x=\frac{a\sqrt{5} }{2} .\)

\(\Rightarrow OB=OD=OA=\frac{a\sqrt{5} }{2} \Rightarrow ABCD\) là hình chữ nhật.

Gọi \(K=CF\cap DE,\) Vẽ hình vuông CKDH.
\(\[\left. \begin{array}{l} {\left. \begin{array}{l} {CK\bot CH} \\ {CK\bot CD'} \end{array}\right\}\Rightarrow CK\bot D'H} \\ {\left. \begin{array}{l} {DK\bot DD'} \\ {DK\bot DH} \end{array}\right\}\Rightarrow DK\bot D'H} \end{array}\right\}\Rightarrow D'H\bot \left(CDK\right)\Rightarrow D'H\bot \left(ABCD\right).\] \)
\(d\left(AA';CD\right)=d\left(A;\left(CDD'\right)\right)=4d\left(K;\left(CDD'\right)\right)=4d\left(H;\left(CDD'\right)\right)=4HM\)( M là chân đường cao kẻ từ H xuống DI).
\(\[\Rightarrow HM=\frac{a\sqrt{3} }{4} .\]  \) 

\(\Delta D'HI có \frac{1}{HM^{2} } =\frac{1}{D'H^{2} } +\frac{1}{HI^{2} } \Rightarrow D'H=\frac{a\sqrt{3} }{2} .\)
\(\[\Rightarrow V_{ABCD.A'B'C'D'} =S_{ABCD} .D'H=2a^{2} .\frac{a\sqrt{3} }{2} =a^{3} \sqrt{3} .\] \)