Cho tứ diện đều ABCD có mặt cầu nt là (S1) và mặt cầu ngt là (S2). Một hình lập phương ngt (S2) và nt trong mặt cầu (S3)

Question

Cho tứ diện đều ABCDcó mặt cầu nội tiếp là (S1) và mặt cầu ngoại tiếp là (S2). Một hình lập phương ngoại tiếp (S2) và nội tiếp trong mặt cầu (S3). Gọi lần lượt là bán kính các mặt cầu. Khẳng định nào sau đây là đúng?

\(A. \frac{r_{1} }{r_{2} } =\frac{2}{3}  và \frac{r_{1} }{r_{3} } =\frac{1}{\sqrt{2} } . B. \frac{r_{1} }{r_{2} } =\frac{2}{3}  và \frac{r_{1} }{r_{3} } =\frac{1}{\sqrt{3} } .\)

\(C. \frac{r_{1} }{r_{2} } =\frac{1}{3}  và \frac{r_{1} }{r_{3} } =\frac{1}{\sqrt{3} } . D. \frac{r_{1} }{r_{2} } =\frac{1}{3}  và \frac{r_{1} }{r_{3} } =\frac{1}{3\sqrt{3} } .\)
 

Answer 1

Chọn D

Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, do tứ diện ABCD đều nên tâm \((S_{1} ) và (S_{2} ) \)đều là O.

Đặt AB=a, gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống mặt phẳng (BCD) ta có \(BH=\frac{a}{\sqrt{3} } =>AH=\frac{a\sqrt{6} }{3} .\)

Khi đó: \(r_{2} =\frac{AB^{2} }{2.AH} =\frac{a\sqrt{6} }{4} ;r_{1} =OH=AH-r_{2} =\frac{a\sqrt{6} }{12} .\)

Mặt khác hình lập phương ngoại tiếp \((S_{2} )\) và nội tiếp trong mặt cầu \((S_{3} )\) nên\( \frac{r_{2} }{r_{3} } =\frac{MP}{NP} =\frac{1}{\sqrt{3} } =>\frac{r_{1} }{r_{3} } =\frac{1}{3\sqrt{3} } .\)