A′B⊥(ABCD),(AA′,(ABCD)ˆ)=45∘,d(A,BB′)=d(A,DD′)=2,((BCC′B′),(CDD′C′)ˆ)=60∘.Thể tích khối chóp bằng

Question

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có\( A'B\bot \left(ABCD\right), \left(\widehat{AA',\left(ABCD\right)}\right)=45{}^\circ , d\left(A,BB'\right)=d\left(A,DD'\right)=2, \left(\widehat{\left(BCC'B'\right),\left(CDD'C'\right)}\right)=60{}^\circ .\) Thể tích khối chóp bằng 

\(A. \sqrt{3} . B. 4\sqrt{2} .\)

\(C. \sqrt{2} . D. 8\sqrt{3} .\)
 

Answer 1

Chọn D

Gọi E,F là hình chiếu của A' lên các cạnh \(BB';DD'\Rightarrow A'E=A'F=2\)

Có \(\left\{\begin{array}{l} {AA'\bot A'E} \\ {AA'\bot A'F} \end{array}\right. \Rightarrow \left(\widehat{\left(BCC'B'\right);\left(CDD'C'\right)}\right)=\left(\widehat{\left(ADD'A'\right);\left(ABB'A'\right)}\right)=\widehat{EA'F}\)

\(\Rightarrow \widehat{AE'F}=60{}^\circ \Rightarrow \Delta A'EF \)đều.

Có \(\widehat{A'AB}=45{}^\circ \Rightarrow AB=A'B=x\)
\(\[\Rightarrow \frac{1}{A'E^{2} } =\frac{1}{A'B^{2} } +\frac{1}{A'B'^{2} } \Leftrightarrow \frac{1}{4} =\frac{1}{x^{2} } +\frac{1}{x^{2} } \Rightarrow x=2\sqrt{2} \] \)
Kẻ \(FK\bot A'E\) tại K (K là trung điểm A'E.

Có \(\left\{\begin{array}{l} {FK\bot A'E} \\ {FK\bot AA'} \end{array}\right. \Rightarrow FK\bot \left(ABB'A'\right) \[FK=A'F.\sin 60{}^\circ =\sqrt{3} \] \)
\(\[\begin{array}{l} {\Rightarrow d\left(D',\left(ABB'A'\right)\right)=\sqrt{3} } \\ {V_{ABCDA'B'C'D'} =3V_{D'.ABB'A'} =\sqrt{3} .2\sqrt{2} .2\sqrt{2} =8\sqrt{3} } \end{array}\] \)