(SAC)⊥(ABC),SA=a6√2,SB=SC=a. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC?

Question

Cho hình chóp S.ABC, đáy \(\triangle ABC\) là nửa hình thoi với đường chéo lớn AC, cạnh AB=a, 

\((SAC)\bot (ABC),\; SA=\frac{a\sqrt{6} }{2} ,SB=SC=a.\) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC?

\(A. \frac{8\sqrt{6} \pi a^{3} }{27} . B. \frac{4\sqrt{3} \pi a^{3} }{27} .\)

\(C. \frac{\sqrt{6} \pi a^{3} }{8} . D. \frac{\sqrt{6} \pi a^{3} }{2} .\)
 

Answer 1

Chọn A

Gọi H,M lần lượt là trung điểm của AC,\(SC\Rightarrow HM=\frac{a\sqrt{6} }{4} .\)

\(\triangle ABC\) là nửa hình thoi với đường chéo lớn \(AC\Rightarrow SH\bot AC và AB=BC=a \)

Mà \((SAC)\bot (ABC)\Rightarrow SH\bot (ABC)\)

\(\triangle BSC\) là tam giác đều cạnh \(a\Rightarrow BM=\frac{a\sqrt{3} }{2}  \)

Ta có \(BH\bot (ASC) vì BH\bot AC,BH\bot SH\)
\(\[\Rightarrow BH\bot HM\Rightarrow BH=\frac{a\sqrt{6} }{4} \Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{10} }{4} \Rightarrow AC=\frac{a\sqrt{10} }{2} .\] \)
Mà \(SA^{2} +SC^{2} =(\frac{a\sqrt{6} }{2} )^{2} +a^{2} =\frac{5a^{2} }{2} =AC^{2}  \)

\(\Rightarrow \triangle SAC \)vuông tại S 

Trong mp(SBH). Dựng đường trung trực của cạnh BSvà cắt BH tại I 

\(\Rightarrow \)I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

\(\Rightarrow BI=\frac{BS.BK}{BH} =\frac{a\sqrt{6} }{3} . \)
\(\[V=\frac{4\pi .(\frac{a\sqrt{6} }{3} )^{3} }{3} =\frac{8\sqrt{6} \pi a^{3} }{27} .\] \)