Biết rằng mặt phẳng (P) qua A vuông góc SC, cắt cạnh SB tại B' với SB′/SB=2/3. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. ​

Question

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ đài cạnh đáy bằng a. Biết rằng mặt phẳng (P) qua A vuông góc SC, cắt cạnh SB tại B' với \(\frac{SB'}{SB} =\frac{2}{3}\) . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.

\(A. \frac{a^{3} \sqrt{6} }{6} . B. \frac{a^{3} \sqrt{6} }{4} .\)

\(C. \frac{a^{3} \sqrt{6} }{2} . D. \frac{a^{3} \sqrt{6} }{3} .\)
 

Answer 1

Chọn A

Gọi I là giao điểm của mặt phẳng (P) với SC, M là giao điểm của IB' với BC, N là giao điểm của MA với CD và O là tâm hình vuông ABCD.

Ta có \(SC\bot \left(P\right)\Rightarrow SC\bot MN. Mà MN\bot SO\, (do SO\bot \left(ABCD\right) và MN\in \left(ABCD\right)). \)

\(\[\Rightarrow MN\bot \left(SAC\right)\Rightarrow MN\bot AC\Rightarrow MN\, {\rm //}\, BD\Rightarrow \frac{CB}{CM} =\frac{CO}{CA} =\frac{1}{2} .\] \)
Hay B là trung điểm của CM.

Xét tam giác SMC có SB là đường trung tuyến mà B'\in SB và \(\frac{SB'}{SB} =\frac{2}{3} \) nên B' là trọng tâm tam giác SMC \(\Rightarrow\) I là trung điểm SC.

Tam giác SAC cân tại S có AI là đường cao cũng là trung tuyến nên tam giác SAC đều.

Ta có AC là đường chéo hình vuông ABCD cạnh a nên \(AC=a\sqrt{2} \Rightarrow SO=\frac{a\sqrt{2} .\sqrt{3} }{2} =\frac{a\sqrt{6} }{2} .\)

Vậy \(V_{S.ABCD} =\frac{1}{3} .SO.S_{ABCD} =\frac{1}{3} .\frac{a\sqrt{6} }{2} .a^{2} =\frac{a^{3} \sqrt{6} }{6} .\)