Chứng minh rằng với mọi số thực x ta đều có sin6x⋅cos4x≤108/3125. ​

Question

Chứng minh rằng với mọi số thực x ta đều có \( \sin ^{6} x\cdot \cos ^{4} x\le \frac{108}{3125} .\)

Answer 1

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 5 số không âm \(\sin ^{2} x, \sin ^{2} x, \sin ^{2} x, \frac{3}{2} \cos ^{2} x và \frac{3}{2} \cos ^{2} x,\) ta có
\(\sin ^{2} x+\sin ^{2} x+\sin ^{2} x+\frac{3}{2} \cos ^{2} x+\frac{3}{2} \cos ^{2} x\ge 5\sqrt[{5}]{\sin ^{2} x\cdot \sin ^{2} x\cdot \sin ^{2} x\cdot \frac{3}{2} \cos ^{2} x\cdot \frac{3}{2} \cos ^{2} x}  \)
\(\Leftrightarrow 3\ge 5\sqrt[{5}]{\frac{9}{4} \sin ^{6} x\cdot \cos ^{4} x}  \)
\(\Leftrightarrow \sin ^{6} x\cdot \cos ^{4} x\le \frac{108}{3125}  (đpcm).\)