Nhận dạng tam giác ABC biết sinA+sinBcosA+cosB=12cotA+12cotB.

Question

Nhận dạng tam giác ABC biết \(\frac{\sin A+\sin B}{\cos A+\cos B} =\frac{1}{2\cot A} +\frac{1}{2\cot B} . \)

Answer 1

\(\frac{\sin A+\sin B}{\cos A+\cos B} =\frac{1}{2\cot A} +\frac{1}{2\cot B}  \)
\(\Leftrightarrow \frac{2\sin \left(\frac{A+B}{2} \right)\cos \left(\frac{A-B}{2} \right)}{2\cos \left(\frac{A+B}{2} \right)\cos \left(\frac{A-B}{2} \right)} =\frac{\sin A}{2\cos A} +\frac{\sin B}{2\cos B}  \)
\(\Leftrightarrow \frac{\sin \left(\frac{A+B}{2} \right)}{\cos \left(\frac{A+B}{2} \right)} =\frac{\sin \left(A+B\right)}{2\cos A\cos B} \) 
\(\Leftrightarrow \frac{\sin \left(\frac{A+B}{2} \right)}{\cos \left(\frac{A+B}{2} \right)} =\frac{2\sin \left(\frac{A+B}{2} \right)\cos \left(\frac{A+B}{2} \right)}{2\cos A\cos B}  \)
\(\Leftrightarrow \cos A\cos B=\cos ^{2} \left(\frac{A+B}{2} \right) \)

\( \Leftrightarrow 2\cos A\cos B=1+\cos \left(A+B\right) \)
\(\Leftrightarrow 2\cos A\cos B=1+\cos A\cos B-\sin A\sin B \)
\(\Leftrightarrow \cos \left(A-B\right)=1 \)\( \Leftrightarrow A=B. \)
Vậy tam giác ABC cân tại C.