Cho S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn là CD. M,N là trđ của SD,SB. Cm A,I,J thẳng hàng và SC=4SF.

Question

Cho S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn là CD. M,N là trđ của SD,SB. Biết rằng CD=2AB và F là giao điểm của SC và mặt phẳng (AMN). Gọi I,J là giao điểm của các cặp CD và EM, BC và FN. Chứng minh rằng ba điểm A,I,J thẳng hàng và SC=4SF.
 

Answer 1

Ta có
\(I=CD\cap EM\Rightarrow I\in \left(AMN\right)\cap \left(ABCD\right). \)
\(J=BC\cap FN\Rightarrow J\in \left(AMN\right)\cap \left(ABCD\right) \)
Suy ra \(IJ=\left(AMN\right)\cap \left(ABCD\right)\)

Mà \(A\in \left(AMN\right)\cap \left(ABCD\right)\)

Nên\( A\in IJ\)

Vậy A,I,J thẳng hàng.

Gọi \(O=AC\cap BD.\)

Do \(\left\{\begin{array}{l} {AB=2CD} \\ {AB\, \, {\rm //}\, \, CD} \end{array}\right. nên\frac{AO}{OC} =\frac{AB}{CD} =\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{AO}{AC} =\frac{1}{3} \)

Xét tam giác SCD có MF cắt CD tại I, ta có

\(\frac{FS}{FC} .\frac{IC}{ID} .\frac{MD}{MS} =1\Rightarrow \frac{FS}{FC} =\frac{ID}{IC} \, \,  (do \frac{MD}{MS} =1 ) \left(1\right)\)

Ta có~: \(\left\{\begin{array}{l} {\left(AMN\right)\cap \left(ABCD\right)=IJ} \\ {\left(AMN\right)\cap \left(SBD\right)=MN} \\ {\left(ABCD\right)\cap \left(SBD\right)=BD} \\ {NM\, \, {\rm //}\, \, BD} \end{array}\right.\)

\(\Rightarrow MN\, \, {\rm //}\, \, BD\, \, {\rm //}\, \, IJ \Rightarrow \frac{ID}{IC} =\frac{AO}{AC} =\frac{1}{3} \, \, \, \, \, \, \left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right) và \left(2\right)\) suy ra \(\frac{FS}{FC} =\frac{1}{3} \Rightarrow SC=4SF\) (Điều phải chứng minh).