A(1;−1;2),B(1;3;2),C(4;3;2),D(4;−1;2).A' là hc của A lên (xOy). Viết ptmc (S) qua A',B,C,D. Viết pt tdiện (P) của (S)

Question

Cho các điểm A(1;−1;2),B(1;3;2),C(4;3;2),D(4;−1;2). Gọi A' là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (xOy). Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A',  B,  C,  D. Khi đó viết phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S) tại A'.
 

Answer 1

 A' là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng \((xOy)\Rightarrow A'=(1 ; -1 ; 0). \)Gọi I(x ; y ; z) là tâm mặt cầu (S), ta có:
\(\left\{\begin{array}{c} {IA'=IB} \\ {IA'=IC} \\ {IA'=ID} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {-8y-4z=-12} \\ {-6x-8y-4z=-27          } \\ {-6x-4z=-19} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {x=\frac{5}{2} } \\ {y=1} \\ {z=1} \end{array}\right. \Rightarrow I\left(\frac{5}{2}  ; 1 ; 1\right)\Rightarrow R=IA'=\frac{\sqrt{29} }{2}  \)
Vậy phương trình mặt cầu \((S):\left(x-\frac{5}{2}  \right)^{2} + \left(y-1\right)^{2} + \left(z-1\right)^{2} =\frac{29}{4} .\)

Ta có: \(\overrightarrow{IA'}=\left(-\frac{3}{2}  ; -2 ; -1\right)\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left(3 ; 4; 2\right)\)

Tiếp diện qua A', nhận \(\overrightarrow{n}\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: 3x+ 4y+2z+1=0.