Tìm tọa độ điểm F đối xứng với E(2;3;5) qua mặt phẳng (Q) :2x+3y+z-17=0 ​

Question

Tìm tọa độ điểm Fđối xứng với \(E\left(2;3;5\right) \)qua mặt phẳng (Q) :2x+3y+z-17=0
 

Answer 1

Gọi \(H\left(x;y;z\right)\)  là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng (Q)

Ta có \(\overrightarrow{HE}=\left(x-2;y-3;z-5\right)  \overrightarrow{HE}=t\overrightarrow{n_{Q} }\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {x-2=2t} \\ {y-3=3t} \\ {z-5=t} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {x=2+2t} \\ {y=3+3t} \\ {z=5+t} \end{array}\right. \Leftrightarrow H\left(2+2t;3+3t;5+t\right) \)
Mặt khác, \(H\in \left(Q\right) nên 2\left(2+2t\right)+3\left(3+3t\right)+\left(5+t\right)-17=0\Leftrightarrow 14t=-1\Leftrightarrow t=-\frac{1}{14}  \)
\(\Rightarrow  H\left(\frac{13}{7} ;\frac{39}{14} ;\frac{69}{14} \right) \)
H là trung điểm của EF nên theo công thức tọa độ trung điểm, ta có \(\left\{\begin{array}{l} {x_{F} =2x_{H} -x_{E} =\frac{12}{7} } \\ {y_{F} =2y_{H} -y_{E} =\frac{18}{7} } \\ {z_{F} =2z_{H} -z_{E} =\frac{34}{7} } \end{array}\right. \Rightarrow F\left(\frac{12}{7} ;\frac{18}{7} ;\frac{34}{7} \right).\)