Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng (Q):2x+y−z√5=0 1 góc 60 độ

Question

Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng \((Q): 2x+y-z\sqrt{5} =0\) một góc \(60{}^\circ .\)
 

Answer 1

Mặt phẳng (P) chứa trục Oz nên có dạng \(Ax+By=0\Rightarrow \overrightarrow{n_{(P)} }=(A{\rm  };{\rm  B ; 0)} .\)

Ta có \(\overrightarrow{n_{(Q)} }=(2{\rm  ; 1 ; -}\sqrt{5} ) .\)

Theo giả thiết của bài toán :
\(\left|\cos \left(\overrightarrow{n_{(P)} },\overrightarrow{n_{(Q)} }\right)\right|=\frac{\left|2A+B\right|}{\sqrt{A^{2} +B^{2} } .\sqrt{4+1+5} } \Leftrightarrow \cos 60{}^\circ =\frac{\left|2A+B\right|}{\sqrt{A^{2} +B^{2} } .\sqrt{4+1+5} }  \)
\(\Leftrightarrow \frac{\left|2A+B\right|}{\sqrt{A^{2} +B^{2} } .\sqrt{4+1+5} } =\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow 2\left|2A+B\right|=\sqrt{10} \sqrt{A^{2} +B^{2} } \Leftrightarrow 6A^{2} +16AB-6B^{2} =0 . \)
Lấy B=1 ta có \(6A^{2} +16A-6=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {A=\frac{1}{3} } \\ {A=-3} \end{array}\right.  .\)

Vậy có hai mặt phẳng (P) :
\(\frac{1}{3} x+y=0; -3x+y=0 . \)