Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua E(3;0;0),F(0;0;1) và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc 60 độ

Question

Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua\( E(3{\rm  ; 0 ; 0), F}(0{\rm  ; 0 ; 1)}\) và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc \(60{}^\circ .\)
 

Answer 1

Mặt phẳng (Q) đi qua E,F và tạo với mặt phẳng(Oxy) một góc \(60{}^\circ\) nên mặt phẳng(Q) cắt Oy tại điểm \(H(0{\rm  ; b ; 0)}\) khác gốc O\( \Rightarrow b\ne 0 .\)

Khi đó phương trình của mặt phẳng (Q) là :
\(\frac{x}{3} +\frac{y}{b} +\frac{z}{1} =1\Leftrightarrow bx+3y+3bz-3b=0\Rightarrow \overrightarrow{n_{(Q)} }=(b{\rm  ; 3 ; 3b)}.\) 
Mặt phẳng (Oxy) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow{k}(0{\rm  ; 0 ; 1)}.\) Theo giả thiết bài toán ta có
\(\left|\cos \left(\overrightarrow{n_{(Q)} },\overrightarrow{k}\right)\right|=\frac{\left|3b\right|}{\sqrt{b^{2} +9+9b^{2} } .\sqrt{1} } \Leftrightarrow \cos 60{}^\circ =\frac{\left|3b\right|}{\sqrt{b^{2} +9+9b^{2} } .\sqrt{1} } \Leftrightarrow \frac{\left|3b\right|}{\sqrt{b^{2} +9+9b^{2} } .\sqrt{1} } =\frac{1}{2}  \)
\(\Leftrightarrow 2\left|3b\right|=\sqrt{9+10b^{2} } \Leftrightarrow b^{2} =\frac{9}{26} \Leftrightarrow b=\pm \frac{3}{\sqrt{26} }  . \)
Vậy có hai mặt phẳng\( (Q): x-\sqrt{26} y+3z-3=0; x+\sqrt{26} y+3z-3=0.\)