E(0;0;-3), F(2;0;-1)và (P):3x-8y+7z-1=0. Tìm tọa độ điểm G thuộc (P) sao cho tam giác FEG là tam giác đều.

Question

Cho 2 điểm E(0;0;-3), F(2;0;-1)và (P):3x-8y+7z-1=0. Tìm tọa độ điểm G thuộc (P) sao cho tam giác FEG là tam giác đều.
 

Answer 1

Gọi \({\kern 1pt} {\kern 1pt} G(x,y,z)\) là điểm cần tìm

Ta có\( {\kern 1pt} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {EG^{2} =FG^{2} } \\ {EG^{2} {\rm =EF}^{2} } \\ {G\in (P)} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {(x-2)^{2} +y^{2} +(z+1)^{2} =x^{2} +y^{2} +(z+3)^{2} } \\ {x^{2} +y^{2} +(z+3)^{2} =8} \\ {3x-8y+7z-1=0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {x+z=-1} \\ {3x-8y+7z-1=0} \\ {x^{2} +y^{2} +(z+3)^{2} =8} \end{array}\right. \)
\({\kern 1pt} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {z=-x-1} \\ {2y=-x-2} \\ {3x^{2} -4x-4=0} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} {z=-x-1} \\ {2y=-x-2} \\ {\left[\begin{array}{l} {x=2} \\ {x=-\frac{2}{3} } \end{array}\right. } \end{array}\right.  \)
Với \({\kern 1pt} x=2thì y=-2;{\kern 1pt} {\kern 1pt} z=-3 \)ta được điểm \(G_{1} (2;-2;-3)\)

Với \({\kern 1pt} x=-\frac{2}{3} thì y=-\frac{2}{3} ;{\kern 1pt} {\kern 1pt} z=-\frac{1}{3} \) ta được điểm \(G_{2} (-\frac{2}{3} ;-\frac{2}{3} ;-\frac{1}{3} ).\)

Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài \({\kern 1pt} {\kern 1pt} M_{1} (2;-2;-3),{\kern 1pt} {\kern 1pt} M_{2} (-\frac{2}{3} ;-\frac{2}{3} ;-\frac{1}{3} ).\)