(C):x2+y2−2x−2y−2=0. (C′)là ảnh của(C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp quay tâm O...

Question

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn \(\left(C\right):x^{2} +y^{2} -2x-2y-2=0.\) Gọi \(\left(C'\right)\) là ảnh của \(\left(C\right)\) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc quay \(45{}^\circ \) và phép vị tự tâm O tỉ số \(\sqrt{2} .\) Phương trình của\( \left(C'\right)\) là:

\(A. \left(C'\right):x^{2} +y^{2} -4x-4y-4=0. B. \left(C'\right):x^{2} +y^{2} -4x-4y=0. \)

\(C. \left(C'\right):x^{2} +y^{2} -4y-4=0. D. \left(C'\right):x^{2} +y^{2} +4y-4=0.\)
 

Answer 1

Chọn C 

Đường tròn \(\left(C\right):x^{2} +y^{2} -2x-2y-2=0 có tâm I\left(1 ; 1\right), \)bán kính R=2.

Gọi \(\left(C_{1} \right) \)có tâm là\( I_{1} \left(x_{1} ;y_{1} \right),\) bán kính \(R_{1} \) là ảnh của \(\left(C\right)\) qua phép quay tâm O góc quay \(45{}^\circ , \left(C'\right) \)có tâm là \(I'\left(x';y'\right)\), bán kính R'.

Theo đề ta có:

\(\left(C\right)\stackrel{Q_{\left(O ; 45{}^\circ \right)} }{\longrightarrow}\left(C_{1} \right)\stackrel{V_{\left(O  ; \sqrt{2} \right)} }{\longrightarrow}\left(C'\right) nên suy ra~: \left\{\begin{array}{l} {I\stackrel{Q_{\left(O  ; 45{}^\circ \right)} }{\longrightarrow}I_{1} \stackrel{V_{\left(O  ; \sqrt{2} \right)} }{\longrightarrow}I'} \\ {R'=\sqrt{2}  R_{1} =\sqrt{2}  R=2\sqrt{2} } \end{array}\right. .\)

Tâm~\(I_{1} :\left\{\begin{array}{l} {x_{1} ={\rm cos} 45{}^\circ -  \sin 45{}^\circ =0} \\ {y_{1} =\sin 45{}^\circ +  {\rm cos} 45{}^\circ =\sqrt{2} } \end{array}\right.   \Rightarrow I_{1} \left(0 ;\sqrt{2} \right).\)

Tâm \(I':\left\{\begin{array}{l} {x=\sqrt{2}  x_{1} =0} \\ {y=\sqrt{2}  y_{1} =2} \end{array}\right.  \Rightarrow I'\left(0 ;2\right).\)

Phương trình của \(\left(C'\right)\) có dạng: \(x^{2} +\left(y-2\right)^{2} =8\Leftrightarrow x^{2} +y^{2} -4y\)-4=0.