Question

Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB và tiếp tuyến chung trong EF, A, E ∈ (O); B, F ∈ (O’)

a. Gọi M là giao điểm của AB và EF. Chứng minh: ∆ AOM ∾ ∆ BMO’

b. Chứng minh: AE ⊥ BF

c. Gọi N là giao điểm của AE và BF. Chứng minh: O,N,O’ thẳng hàng.

Answer 1

MA;ME là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M

⇒MA=ME⇒ΔMAE⇒∆ cân tại M

    MO là phân giác ˆAME

⇒MO vừa là đường cao ΔMAE

Gọi C là giao điểm của OM và AE

⇒OM⊥AE tại C

Xét ΔMAO vuông tại A có AC⊥OM

⇒OA2=OC.OM (hệ thức lượng)

⇒OA2OM2=OC.OMOM2=OCOM(1)

Gọi D là giao điểm của O′M và BF

Chứng minh tương tự: O'M⊥BF tại D

Xét ΔMBO′ vuông tại B có BD⊥O′M

⇒MB2=MD.MO' (hệ thức lượng)

⇒MB2MO'2=MD.MO'MO'2=MDMO'(2)

Vì ΔAMO∽ΔBO′M

⇒OAOM=MBMO'

⇒OA2OM2=MB2MO'2 (3)

Từ (1);(2);(3)⇒OCOM=MDMO'(4)

Với N là giao điểm AE;BF và AE⊥BF

⇒AN⊥BF tại N

⇒ˆCND=90°

Xét tứ giác MCND có:

    ˆMCN=ˆMDN=ˆCND=90°    

⇒MCND là hình chữ nhật 

⇒MD=CN(5) và ˆCMD=90°

⇒ˆOMO'=90°

Từ (4);(5)⇒OCOM=CNMO'

⇒OCCN=OMMO'

Xét ΔOCN và ΔOMO′ có:

    ˆOCN=ˆOMO'=90°    

    OCCN=OMMO'   

⇒ΔOCN∽ΔOMO'(c-g-c)

⇒ˆCON=ˆMOO'

⇒ˆMON=ˆMOO'

⇒O;N;O'thẳng hàng