1. Xét tứ giác CEHD ta có:
góc CEH = 90 (Vì BE là đường cao)
góc CDH = 90 (Vì AD là đường cao)
=> góc CEH + góc CDH = 180
Mà góc CEH và góc CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD.
Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp
2. Theo giả thiết: BE là đường cao => BE ┴ AC => góc BEA = 90.
AD là đường cao => AD ┴ BC => BDA = 90.
Như vậy E và D cùng nhìn AB dưới một góc 90
=> E và D cùng nằm trên đường tròn đường kính AB.
Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.
3. Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đường cao nên cũng là đường trung tuyến
=> D là trung điểm của BC. Theo trên ta có góc BEC = 90.
Vậy tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến => DE = 1/2 BC.
4. Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm của AH
=> OA = OE => tam giác AOE cân tại O => góc E1 = góc A1 (1).
Theo trên DE = 1/2 BC => tam giác DBE cân tại D => góc E3 = góc B1 (2)
Mà góc B1 = góc A1 (vì cùng phụ với góc ACB)
=> góc E1 = góc E3
=> góc E1 + góc E2 = góc E2 + góc E3
Mà góc E1 + góc E2 = góc BEA = 90
=> góc E2 + góc E3 = 900 = góc OED
=> DE ┴ OE tại E.
Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E
5. Theo giả thiết AH = 6 Cm
=> OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm
=> OD = 5 cm.
Áp dụng định lí Pitago cho tam giác OED vuông tại E ta có
ED^2 = OD^2 – OE^2
↔ ED^2 = 52 – 32
↔ ED = 4cm