Chứng minh rằng các điểm A, E, F thẳng hàng.

Question

Cho đường tròn (C) với tâm O và đường kính AB cố định. Gọi M là điểm di động trên (C) sao cho M không trùng với các điểm A và B. Lấy C là điểm đối xứng của O qua A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt đường thẳng AM tại N. Đường thẳng BN cắt đường tròn (C ) tại điểm thứ hai là E. Các đường thẳng BM và CN cắt nhau tại F.

a) Chứng minh rằng các điểm A, E, F thẳng hàng.

b) Chứng minh rằng tích AM×AN không đổi.

c) Chứng minh rằng A là trọng tâm của tam giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn nhất.

Answer 1

a) Ta có:

⇒ A là trực tâm của tam giác BNF

Mà: 

Nên A, E, F thẳng hàng

b) Ta có:

 Không đổi ( với R là bán kình đường tròn (C))

c) Ta có:

 A là trọng tâm  

Hay C là trung điểm NF (1)

Mặt khác:

Áp dujng bđt Cauchy ta có:

Nên NF ngắn nhất khi và chỉ khi CN=CF hay C là trung điểm NF (2)

Từ (1)(2) ta có: Alaf trọng tâm  ngắn nhất