Chào mừng bạn đến với Selfomy Hỏi Đáp, hãy Hỏi bài tập hoặc Tham gia ngay
Đặt câu hỏi

Toán 8 bđt 2

0 phiếu
63 lượt xem
trong Toán lớp 8 bởi phatnguyen25 Thần đồng (1.4k điểm)

Với n là số tự nhiên, CMR

\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}< 2

1 Câu trả lời

+3 phiếu
bởi minhtiendailqa4a3324 Thạc sĩ (5.5k điểm)
được bầu chọn là câu hỏi hay nhất bởi phatnguyen25
 
Hay nhất

Ta có:

 \frac{1}{(k+1)\sqrt{k}}=\sqrt{k}.\frac{1}{(k+1)k}=\sqrt{k}.(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})=\sqrt{k}.(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}})(\frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}})=(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}})(1+\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}})

Mà 1+\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}}< 2nên

(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}})(1+\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}})<2(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}).

Hay\frac{1}{(k+1)\sqrt{k}}<2(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}})(1).

Áp dụng (1) vào vế trái dãy số ở đề bài ta có:

\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}<2(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})

\Leftrightarrow \frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}<2(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}})

Mà 1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}< 1nên:

\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}<2(đpcm).

TICK NHA BẠN!

 

 

 

                                                                                                     

Các câu hỏi liên quan

+2 phiếu
2 câu trả lời 200 lượt xem
Kiến thức về BĐT Bunyakovsky
đã hỏi 23 tháng 8, 2020 trong Toán lớp 9 bởi minhtiendailqa4a3324 Thạc sĩ (5.5k điểm)
+2 phiếu
1 trả lời 297 lượt xem
BĐT Bunyakovsky
Cho 3 số thực không âm a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Tìm Max của .
đã hỏi 13 tháng 8, 2020 trong Toán lớp 9 bởi ThIsMe Học sinh (147 điểm)
  • can-gap-lam
+2 phiếu
1 trả lời 71 lượt xem
PT nghiệm nguyên áp dụng BĐT
Giải PT nghiệm nguyên: .
đã hỏi 13 tháng 8, 2020 trong Toán lớp 9 bởi ThIsMe Học sinh (147 điểm)
+2 phiếu
1 trả lời 83 lượt xem
Phương pháp chọn điểm rơi BĐT( kiến thức)
đã hỏi 2 tháng 8, 2020 trong Toán lớp 9 bởi ThIsMe Học sinh (147 điểm)
0 phiếu
0 câu trả lời 229 lượt xem
E học lớp 8 môn toán của e đc 2 điểm thì các môn khác cao điểm thì có kéo lên đc hstt ko ạ
đã hỏi 27 tháng 12, 2022 trong Toán lớp 8 bởi Khách
+1 thích
2 câu trả lời 174 lượt xem
Toán 8 Giải phương trình x^{2}+2x+3=(x^{2}+x+1).(x^{4}+x^{2}+4)
Giải phương trình:
đã hỏi 16 tháng 6, 2020 trong Toán lớp 8 bởi phatnguyen25 Thần đồng (1.4k điểm)
0 phiếu
0 câu trả lời 100 lượt xem
Toán lớp 8 Phát biểu hằng đẳng thức thứ 1,2,3 bằng lời
Giúp mình nha các bạn
đã hỏi 14 tháng 3, 2020 trong Toán lớp 8 bởi duongluc369215 Cử nhân (2.4k điểm)
0 phiếu
1 trả lời 70 lượt xem
[Toán 8] Hình Part 2
đã hỏi 17 tháng 1, 2020 trong Toán lớp 8 bởi dthanhcoder Cử nhân (4.6k điểm)
+1 thích
2 câu trả lời 163 lượt xem
Toán 8 dễ và cần cực gấp nha mn!! Làm hết 1, 2, 3 luôn nha
đã hỏi 1 tháng 8, 2019 trong Toán lớp 8 bởi dthanhcoder Cử nhân (4.6k điểm)
0 phiếu
1 trả lời 109 lượt xem
[Toán 8] Part 2
  Bài 2: Cho hình thang cân ABCD (AD // BC, AD < BC). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh: OA = OD và OB = OC  
đã hỏi 23 tháng 6, 2019 trong Toán lớp 8 bởi dthanhcoder Cử nhân (4.6k điểm)

HOT 1 giờ qua

Thành viên tích cực tháng 05/2024
  1. phamngoctienpy1987844

    50628 Điểm

  2. vxh2k9850

    35940 Điểm

  3. Khang1000

    29693 Điểm

  4. Tí Vua Đệ Nhất

    28073 Điểm

Phần thưởng hằng tháng
Hạng 1: 200.000 đồng
Hạng 2: 100.000 đồng
Hạng 3: 50.000 đồng
Hạng 4: 20.000 đồng
Phần thưởng bao gồm: mã giảm giá Shopee, Nhà Sách Phương Nam, thẻ cào cùng nhiều phần quà hấp dẫn khác sẽ dành cho những bạn tích cực nhất của tháng. Xem tại đây
Bảng xếp hạng cập nhật 30 phút một lần
Nhãn hiệu, logo © 2024 Selfomy
Về Selfomy
...