Chào mừng bạn đến với Selfomy Hỏi Đáp, hãy Hỏi bài tập hoặc Tham gia ngay
Đặt câu hỏi

Cho a,b,c>0. Chứng minh bất đẳng thức sau:

+3 phiếu
257 lượt xem
minhtiendailqa4a3324 trong Toán lớp 9 bởi Thạc sĩ (5.5k điểm)
đã sửa bởi

Cho a,b,c>0, a+b+c=1. Chứng minh bất đẳng thức sau:\sum \frac{a+bc}{b+c}\geq 2.

2 Trả lời

+5 phiếu
_NoProblems_ bởi Cử nhân (2.1k điểm)
được bầu chọn là câu hỏi hay nhất bởi
 
Hay nhất

Do a+b+c=1 nên ta có:

\frac{a+bc}{b+c}=\frac{a(a+b+c)+bc}{b+c}=\frac{(a+b)(a+c)}{b+c}.

Do đó ta cần chứng minh:

\sum \frac{(a+b)(a+c)}{b+c}\geq 2(*).

Ta có:

 \frac{(a+b)(a+c)}{b+c}+\frac{(a+b)(b+c)}{c+a}\geq 2\sqrt{(a+b)^2}=2(a+b).

Tương tự:

\frac{(a+b)(a+c)}{b+c}+\frac{(b+c)(c+a)}{a+b}\geq 2(a+c);    \frac{(a+b)(b+c)}{c+a}+\frac{(b+c)(c+a)}{a+b}\geq 2(b+c).

Suy ra:

2\sum \frac{(a+b)(a+c)}{b+c}\geq 4\sum a.

Mà a+b+c=1 nên 2\sum \frac{(a+b)(a+c)}{b+c}\geq 4 hay \sum \frac{(a+b)(a+c)}{b+c}\geq 2.

Vậy (*) đã được chứng minh.

TICK MÌNH NHA!!

 

 

0 phiếu
idog480430 bởi Thần đồng (1.1k điểm)

Do a+b+c=1 nên ta có:

\frac{a+bc}{b+c}=\frac{a(a+b+c)+bc}{b+c}=\frac{(a+b)(a+c)}{b+c}.

Do đó ta cần chứng minh:

\sum \frac{(a+b)(a+c)}{b+c}\geq 2(*).

Ta có:

 \frac{(a+b)(a+c)}{b+c}+\frac{(a+b)(b+c)}{c+a}\geq 2\sqrt{(a+b)^2}=2(a+b).

Tương tự:

\frac{(a+b)(a+c)}{b+c}+\frac{(b+c)(c+a)}{a+b}\geq 2(a+c);    \frac{(a+b)(b+c)}{c+a}+\frac{(b+c)(c+a)}{a+b}\geq 2(b+c).

Suy ra:

2\sum \frac{(a+b)(a+c)}{b+c}\geq 4\sum a.

Mà a+b+c=1 nên 2\sum \frac{(a+b)(a+c)}{b+c}\geq 4 hay \sum \frac{(a+b)(a+c)}{b+c}\geq 2.

Các câu hỏi liên quan

+1 thích
1 trả lời 221 lượt xem
Cho ... Chứng minh bất đẳng thức sau: .....
Cho a, b, c > 0 và . Chứng minh .
đã hỏi 30 tháng 12, 2019 trong Toán lớp 9 bởi datptm2205 Thần đồng (1.3k điểm)
0 phiếu
1 trả lời 165 lượt xem
Chứng minh các bất đẳng thức sau
Chứng minh các bất đẳng thức: a) (a + b)² ≤ 2(a² + b²) b) (a + b + c)² ≤ 3(a²+ b²+ c²)
đã hỏi 7 tháng 5, 2022 trong Toán lớp 9 bởi thuythanh1905207625 Thần đồng (964 điểm)
+2 phiếu
1 trả lời 166 lượt xem
Chứng minh bất đẳng thức
Cho x,y,z >0. Chứng minh rằng: 
đã hỏi 7 tháng 8, 2020 trong Toán lớp 9 bởi minhtiendailqa4a3324 Thạc sĩ (5.5k điểm)
0 phiếu
2 câu trả lời 1.5k lượt xem
Chứng minh đẳng thức -(a+b+c)+(b+c-1)=(b-c+6)-(7-a+b)-c; Cho M=a+b-1 và N=b+c-1 biết M<N. Hỏi a-c dương hay âm!
1. Chứng minh đẳng thức -(a+b+c)+(b+c-1)=(b-c+6)-(7-a+b)-c 2.Cho M=a+b-1          N=b+c-1 biết M bé hơn N. Hỏi a-c dương hay âm!
đã hỏi 13 tháng 1, 2017 trong Toán lớp 6 bởi traman2005 Học sinh (206 điểm)
0 phiếu
1 trả lời 243 lượt xem
Chứng minh đẳng thức: a(b-c) - b(a+c) + c(a-b) = -2bc và a(1-b) + a(a^2-1) = a(a^2-b)
Chứng minh đẳng thức: a) a(b-c) - b(a+c) + c(a-b) = -2bc b) a(1-b) + a(a^2-1) = a(a^2-b) _phingoclinh.vn1011_
đã hỏi 15 tháng 9, 2021 trong Toán lớp 8 bởi phingoclinh.vn1011 Cử nhân (2.2k điểm)
0 phiếu
0 câu trả lời 135 lượt xem
Cho x, y, z>0. CM bất đẳng thức:
Cho x, y, z>0. CMR: \({{\sqrt{xy}\over 1+\sqrt{yz} }+{1\over {\sqrt{xy}+\sqrt{yz}}} +{\sqrt {2.\sqrt{yz}\over 1+\sqrt{xy}} }}\geq 2\)
đã hỏi 15 tháng 5, 2021 trong Toán lớp 9 bởi phatnguyen25 Thần đồng (1.4k điểm)
+1 thích
1 trả lời 243 lượt xem
Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8
Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8
đã hỏi 8 tháng 5, 2022 trong Toán lớp 9 bởi thuythanh1905207625 Thần đồng (964 điểm)
0 phiếu
0 câu trả lời 139 lượt xem
Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng: a5 + b5 + c5 +  ≥ 6
đã hỏi 25 tháng 4, 2020 trong Toán lớp 9 bởi Phamthunhien Tiến sĩ (20.5k điểm)
0 phiếu
1 trả lời 220 lượt xem
Cho ba số a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
đã hỏi 24 tháng 12, 2019 trong Toán lớp 9 bởi Phamthunhien Tiến sĩ (20.5k điểm)
0 phiếu
0 câu trả lời 142 lượt xem
Chứng minh bất đẳng thức sau:
Chứng minh bất đẳng thức:
đã hỏi 7 tháng 11, 2023 trong Toán lớp 8 bởi phamngoctienpy1987844 Phó giáo sư (50.7k điểm)

HOT 1 giờ qua

Thành viên tích cực tháng 06/2026
  1. trannhat900trannhat900

    52948 Điểm

  2. phamngoctienpy1987844phamngoctienpy1987844

    50728 Điểm

  3. vxh2k9850vxh2k9850

    35980 Điểm

  4. Nqoc_bakaNqoc_baka

    34614 Điểm

Phần thưởng hằng tháng
Hạng 1: 200.000 đồng
Hạng 2: 100.000 đồng
Hạng 3: 50.000 đồng
Hạng 4: 20.000 đồng
Phần thưởng bao gồm: mã giảm giá Shopee, Nhà Sách Phương Nam, thẻ cào cùng nhiều phần quà hấp dẫn khác sẽ dành cho những bạn tích cực nhất của tháng. Xem tại đây
Bảng xếp hạng cập nhật 30 phút một lần
Nhãn hiệu, logo © 2026 Selfomy
Về Selfomy
...