Chào mừng bạn đến với Selfomy Hỏi Đáp, hãy Hỏi bài tập hoặc Tham gia ngay
+3 phiếu
188 lượt xem
trong Toán lớp 9 bởi minhtiendailqa4a3324 Thạc sĩ (5.5k điểm)
đã sửa bởi minhtiendailqa4a3324

Cho a,b,c>0, a+b+c=1. Chứng minh bất đẳng thức sau:\sum \frac{a+bc}{b+c}\geq 2.


2 Trả lời

+5 phiếu
bởi _NoProblems_ Cử nhân (2.1k điểm)
được bầu chọn là câu hỏi hay nhất bởi minhtiendailqa4a3324
 
Hay nhất

Do a+b+c=1 nên ta có:

\frac{a+bc}{b+c}=\frac{a(a+b+c)+bc}{b+c}=\frac{(a+b)(a+c)}{b+c}.

Do đó ta cần chứng minh:

\sum \frac{(a+b)(a+c)}{b+c}\geq 2(*).

Ta có:

 \frac{(a+b)(a+c)}{b+c}+\frac{(a+b)(b+c)}{c+a}\geq 2\sqrt{(a+b)^2}=2(a+b).

Tương tự:

\frac{(a+b)(a+c)}{b+c}+\frac{(b+c)(c+a)}{a+b}\geq 2(a+c);    \frac{(a+b)(b+c)}{c+a}+\frac{(b+c)(c+a)}{a+b}\geq 2(b+c).

Suy ra:

2\sum \frac{(a+b)(a+c)}{b+c}\geq 4\sum a.

Mà a+b+c=1 nên 2\sum \frac{(a+b)(a+c)}{b+c}\geq 4 hay \sum \frac{(a+b)(a+c)}{b+c}\geq 2.

Vậy (*) đã được chứng minh.

TICK MÌNH NHA!!

 

 

0 phiếu
bởi idog480430 Thần đồng (1.0k điểm)

Do a+b+c=1 nên ta có:

\frac{a+bc}{b+c}=\frac{a(a+b+c)+bc}{b+c}=\frac{(a+b)(a+c)}{b+c}.

Do đó ta cần chứng minh:

\sum \frac{(a+b)(a+c)}{b+c}\geq 2(*).

Ta có:

 \frac{(a+b)(a+c)}{b+c}+\frac{(a+b)(b+c)}{c+a}\geq 2\sqrt{(a+b)^2}=2(a+b).

Tương tự:

\frac{(a+b)(a+c)}{b+c}+\frac{(b+c)(c+a)}{a+b}\geq 2(a+c);    \frac{(a+b)(b+c)}{c+a}+\frac{(b+c)(c+a)}{a+b}\geq 2(b+c).

Suy ra:

2\sum \frac{(a+b)(a+c)}{b+c}\geq 4\sum a.

Mà a+b+c=1 nên 2\sum \frac{(a+b)(a+c)}{b+c}\geq 4 hay \sum \frac{(a+b)(a+c)}{b+c}\geq 2.

Các câu hỏi liên quan

+1 thích
1 trả lời 96 lượt xem
Cho a, b, c > 0 và . Chứng minh .
đã hỏi 30 tháng 12, 2019 trong Toán lớp 9 bởi datptm2205 ● Cộng Tác Viên Thần đồng (1.3k điểm)
  • toán-lớp-11
  • bất-đẳng-thức
  • khó
0 phiếu
1 trả lời 59 lượt xem
Chứng minh các bất đẳng thức: a) (a + b)² ≤ 2(a² + b²) b) (a + b + c)² ≤ 3(a²+ b²+ c²)
đã hỏi 7 tháng 5, 2022 trong Toán lớp 9 bởi thuythanh1905207625 Thần đồng (924 điểm)
+2 phiếu
1 trả lời 70 lượt xem
Cho x,y,z >0. Chứng minh rằng: 
đã hỏi 7 tháng 8, 2020 trong Toán lớp 9 bởi minhtiendailqa4a3324 Thạc sĩ (5.5k điểm)
0 phiếu
2 câu trả lời 1.3k lượt xem
1. Chứng minh đẳng thức -(a+b+c)+(b+c-1)=(b-c+6)-(7-a+b)-c 2.Cho M=a+b-1          N=b+c-1 biết M bé hơn N. Hỏi a-c dương hay âm!
đã hỏi 12 tháng 1, 2017 trong Toán lớp 6 bởi traman2005 Học sinh (206 điểm)
0 phiếu
1 trả lời 165 lượt xem
Chứng minh đẳng thức: a) a(b-c) - b(a+c) + c(a-b) = -2bc b) a(1-b) + a(a^2-1) = a(a^2-b) _phingoclinh.vn1011_
đã hỏi 14 tháng 9, 2021 trong Toán lớp 8 bởi phingoclinh.vn1011 Cử nhân (2.2k điểm)
0 phiếu
0 câu trả lời 62 lượt xem
Cho x, y, z>0. CMR: \({{\sqrt{xy}\over 1+\sqrt{yz} }+{1\over {\sqrt{xy}+\sqrt{yz}}} +{\sqrt {2.\sqrt{yz}\over 1+\sqrt{xy}} }}\geq 2\)
đã hỏi 14 tháng 5, 2021 trong Toán lớp 9 bởi phatnguyen25 Thần đồng (1.4k điểm)
+1 thích
1 trả lời 93 lượt xem
Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8
đã hỏi 7 tháng 5, 2022 trong Toán lớp 9 bởi thuythanh1905207625 Thần đồng (924 điểm)
0 phiếu
0 câu trả lời 49 lượt xem
Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng: a5 + b5 + c5 +  ≥ 6
đã hỏi 25 tháng 4, 2020 trong Toán lớp 9 bởi Phamthunhien Tiến sĩ (20.5k điểm)
0 phiếu
0 câu trả lời 65 lượt xem
đã hỏi 24 tháng 12, 2019 trong Toán lớp 9 bởi Phamthunhien Tiến sĩ (20.5k điểm)
0 phiếu
0 câu trả lời 86 lượt xem
Chứng minh bất đẳng thức:
đã hỏi 6 tháng 11, 2023 trong Toán lớp 8 bởi phamngoctienpy1987844 Phó giáo sư (50.6k điểm)

HOT 1 giờ qua

  1. nguyenmanh04102009212

    166 Điểm

  2. tnk11022006452

    120 Điểm

  3. hoconghung031007464

    80 Điểm

Phần thưởng hằng tháng
Hạng 1: 200.000 đồng
Hạng 2: 100.000 đồng
Hạng 3: 50.000 đồng
Hạng 4-10: 20.000 đồng
Bảng xếp hạng cập nhật 30 phút một lần
...