Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thang (AB//CD,AB>CD). Gọi I,J lần lượt là trung điểm...

Question

Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thang \(\left(AB\, //\, CD,\, AB>CD\right)\). Gọi I,J lần lượt là trung điểm của SA,SB; M là điểm bất kì trên SD.

a) Tìm giao điểm K của IM và mặt phẳng (SBC).

b) Tìm giao điểm N của SC với mặt phẳng \((M{\rm IJ}).\)

c) Gọi H là giao điểm của IN và JM. Chứng minh H thuộc một đường thẳng cố định khi M chuyển động trên SD.

Answer 1

Ta có:\( IM\subset (SAD)\)

Xét (SAD) và (SBC).

Có S chung.

Trong \((ABCD):E=AD\cap BC.\)
\\(\begin{array}{l} {\left\{\begin{array}{l} {E\in AD,\, AD\subset (SAD)} \\ {E\in BC,\, BC\subset (SBC)} \end{array}\right. \Rightarrow E\in (SAD)\cap (SBC)} \\ {\Rightarrow (SAD)\cap (SBC)=SE} \end{array}\)

Trong (\(SAD):\, K=IM\cap SE\).
\(\begin{array}{l} {\left\{\begin{array}{l} {K\in IM} \\ {K\in SE,\, SE\subset (SBC)\Rightarrow K\in (SBC)} \end{array}\right. } \\ {\Rightarrow K=IM\cap (SBC)} \end{array}.\)
b) Trong \((SBC):N=SC\cap KJ\).
\(\begin{array}{l} {\left\{\begin{array}{l} {N\in SC} \\ {N\in KJ,\, KJ\subset (M{\rm IJ})\Rightarrow N\in (M{\rm IJ})} \end{array}\right. } \\ {\Rightarrow N=SC\cap (M{\rm IJ})} \end{array}.\)

 c) Trong \((ABCD):O=AC\cap BD\Rightarrow (SAC)\cap (SBD)=SO\, \, (1)\)

   Trong \((MNJI):H=IN\cap JM.\)
\(\left\{\begin{array}{l} {H\in IN,\, IN\subset (SAC)} \\ {H\in MJ,\, MJ\subset (SBD)} \end{array}\right. \Rightarrow H\in (SAC)\cap (SBD)\, (2).\)

 Từ \((1),( 2)\Rightarrow H\in SO,SO\) cố định.

 Vậy khi M chuyển động trên SD thì H luôn chuyển động trên SO cố định.