Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I, J là hai điểm cố định trên SA và SC với SI>IA, SJ<JC. Một mặt phẳng...

Question

Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I, J là hai điểm cố định trên SA và SC với SI>IA, SJ\(\left(\alpha \right) \) quay quanh IJ cắt SB tại M, cắt SD tại N.

 a) Chứng minh IJ, MN và SO đồng qui (O là giao điểm của AC và BD).

 b) AD cắt BC tại E, IN cắt MJ tại F. Chứng minh ba điểm S, E, F thẳng hàng.

 c) IN cắt AD tại P, MJ cắt BC tại Q. Chứng minh PQ luôn đi qua một điểm cố định khi \(\left(\alpha \right)\) quay quanh IJ.

Answer 1

a) Trong mặt phẳng \(\left(SAC\right)\), gọi \(H=IJ\cap SO \). 

 Ta có: \(\left\{\begin{array}{l} {\left(\alpha \right)\cap \left(SBD\right)=MN} \\ {\left(\alpha \right)\cap \left(SAC\right)=IJ} \\ {\left(SBD\right)\cap \left(SAC\right)=SO} \\ {IJ\cap SO=H} \end{array}\right. \)

 \(\Rightarrow\) Ba đường thẳng IJ, MN và SO đồng qui tại H.

 b) Ta có: 
\(\left\{\begin{array}{l} {E\in AD\subset \left(SAD\right)} \\ {E\in BC\subset \left(SBC\right)} \end{array}\right. \Rightarrow E\in \left(SAD\right)\cap \left(SBC\right)\, \, \, \, \, \, \, \left(1\right)\)
\(\left\{\begin{array}{l} {F\in IN\subset \left(SAD\right)} \\ {F\in MJ\subset \left(SBC\right)} \end{array}\right. \Rightarrow F\in \left(SAD\right)\cap \left(SBC\right)\, \, \, \, \, \, \, \left(2\right)\)
\(\left\{\begin{array}{l} {S\in \left(SAD\right)} \\ {S\in \left(SBC\right)} \end{array}\right. \Rightarrow S\in \left(SAD\right)\cap \left(SBC\right)\, \, \, \, \, \, \, \left(3\right)\)

 Từ \(\left(1\right)\), \(\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\) suy ra ba điểm S, E, F thẳng hàng.

 c) Trong mặt phẳng \(\left(SAC\right)\), gọi \(K=IJ\cap AC\).

 Ta có: 
\(\left\{\begin{array}{l} {K\in IJ\subset \left(\alpha \right)} \\ {K\in AC\subset \left(ABCD\right)} \end{array}\right. \Rightarrow K\in \left(\alpha \right)\cap \left(ABCD\right)  \left(4\right)\)
\(\left\{\begin{array}{l} {Q\in MJ\subset \left(\alpha \right)} \\ {Q\in BC\subset \left(ABCD\right)} \end{array}\right. \Rightarrow Q\in \left(\alpha \right)\cap \left(ABCD\right)   \left(5\right)\)
\(\left\{\begin{array}{l} {P\in IN\subset \left(\alpha \right)} \\ {P\in AD\subset \left(ABCD\right)} \end{array}\right. \Rightarrow P\in \left(\alpha \right)\cap \left(ABCD\right)   \left(6\right).\)

 Từ \(\left(4\right), \left(5\right)\) và \(\left(6\right)\) suy ra ba điểm K, Q, P thẳng hàng,

hay đường thẳng PQ luôn đi qua điểm cố định K khi \(\left(\alpha \right)\)

quay quanh IJ.