Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AD//BC, AD=a, BC=b. Gọi I và J lần lượt là...

Question

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, \(AD{\rm //}BC,\, AD=a,\, BC=b\). Gọi I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAD và SBC. Mặt phẳng \(\left(ADJ\right)\) cắt SB,SC lần lượt tại M và N. Mặt phẳng \(\left(BCI\right)\) cắt \(SA,\, SD\) lần lượt tại P,Q.

 a) Chứng minh rằng \(MN//PQ\).

 b) Giả sử AM cắt BP tại E, CQ cắt DN tại F. Chứng minh \(EF{\rm //}MN{\rm //}PQ\). Tính độ dài EF theo a và b.
 

Answer 1

a) Ta có \(I\in \left(SAD\right)\Rightarrow I\in \left(SAD\right)\cap \left(BCI\right)\)

do đó:

\(\left\{\begin{array}{l} {AD{\rm //}BC} \\ {AD\subset \left(SAD\right)\Rightarrow \left(SAD\right)\cap \left(BCI\right)=PQ} \\ {BC\subset \left(BCI\right)} \end{array}\right.  \)

và \(PQ{\rm //}AD{\rm //}BC                       \left(1\right) \)

Ta có \(J\in \left(SBC\right)\Rightarrow I\in \left(SBC\right)\cap \left(ADJ\right)\)

\(\left\{\begin{array}{l} {AD{\rm //}BC} \\ {AD\subset \left(JAD\right)\Rightarrow \left(JAD\right)\cap \left(SBC\right)=MN} \\ {BC\subset \left(SBC\right)} \end{array}\right.  \)

và \(MN{\rm //}AD{\rm //}BC                      \left(2\right) \)

Từ \(\left(1\right)\& \left(2\right)\Rightarrow PQ{\rm //}MN \)

b) Ta có:
\(E=AM\cap BP\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {E\in \left(AMND\right)} \\ {E\in \left(PBCQ\right)} \end{array}\right. \)

\(F=DN\cap CQ\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {F\in \left(AMND\right)} \\ {F\in \left(PBCQ\right)} \end{array}\right. \)

Do đó: \(EF=\left(AMND\right)\cap \left(PBCQ\right)\)

Mà \(\left\{\begin{array}{l} {AD{\rm //}BC} \\ {MN{\rm //}PQ} \end{array}\right. \Rightarrow EF{\rm //}AD{\rm //}BC{\rm //}MN{\rm //}PQ\)

Vậy \(EF{\rm //}MN{\rm //}PQ\)

* Gọi \(K=CP\cap EF\Rightarrow EF=EK+KF\)

- Ta có:
\(EK{\rm //}BC\Rightarrow \frac{EK}{BC} =\frac{PE}{PB} ,PM{\rm //}AB\)

\(\Rightarrow \frac{PE}{EB} =\frac{PM}{AB}\)
Mà \(\frac{PM}{AB} =\frac{SP}{SA} =\frac{2}{3} \Rightarrow \frac{PE}{EB} =\frac{2}{3}  \)

Do vậy: \(\frac{EK}{BC} =\frac{PE}{PB} =\frac{PE}{PE+EB} =\frac{1}{1+\frac{EB}{PE} } =\frac{1}{1+\frac{3}{2} } =\frac{2}{5}\)

\( \Rightarrow EK=\frac{2}{5} BC=\frac{2}{5} b        \left(3\right) \)

- Ta có:

Tỉ lệ sai \(KF{\rm //}PQ\Rightarrow \frac{KF}{PQ} =\frac{CF}{QC} ,QN{\rm //}CD\)

\(\Rightarrow \frac{QF}{FC} =\frac{QN}{CD} \)

Mà \(\frac{QN}{CD} =\frac{SQ}{SD} =\frac{2}{3} \Rightarrow \frac{QF}{FC} =\frac{2}{3}  \)

Do vậy: \(\frac{KF}{PQ} =\frac{QF}{QC} =\frac{CF}{QF+FC} =\frac{1}{1+\frac{QF}{CF} } =\frac{1}{1+\frac{2}{3} } =\frac{3}{5} \)

\(\Rightarrow KF=\frac{3}{5} PQ=\frac{3}{5} a        \left(4\right)\)

Từ\( \left(3\right)\& \left(4\right)\Rightarrow EF=EK+KF=\frac{2}{5} b+\frac{3}{5} a \)

Vậy \(EF=\frac{2}{5} b+\frac{3}{5} a \)