a) Tìm giao điểm của BM với mặt phẳng \(\left(SAC\right)\).
Gọi \(O=BD\cap AC\). Ta có \(\left(SBD\right)\cap \left(SAC\right)=SO.\)
Trong mp\(\left(SBD\right)\) gọi \(E=BM\cap SO\). Khi đó \(E=BM\cap \left(SAC\right).\)
b) N là một điểm thay đổi trên cạnh BC.
Xác định giao tuyến của \(\left(AMN\right)\) và \(\left(SBC\right)\).
Chứng minh giao tuyến này luôn đi qua một điểm cố định.
Gọi \(F=AN\cap DC;\, \, H=FM\cap SC.\)
Ta có N là điểm chung thứ nhất và H là điểm chung thứ hai
của \(\left(AMN\right)\) và \(\left(SBC\right).\)
Suy ra \(\left(AMN\right)\cap \left(SBC\right)=NH.\)
Mặt khác : Qua S kẻ \(Sx\, \, //\, \, AD\), trong mp\(\left(SAD\right)\)
gọi \(AM\cap Sx=J\) cố định.
Khi đó J là điểm chung của \(\left(AMN\right)\) và \(\left(SBC\right).\)
Suy ra \(J\in NH\). Vậy giao tuyến NH luôn đi qua
điểm cố định J.
c) G là trọng tâm tam giác SAB.
Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp\(\left(MNG\right)\).
Gọi I là trung điểm của \(AB,\, \, K=NI\cap BD.\)
Suy ra \(\left(SNI\right)\cap \left(SBD\right)=SK.\)
Trong mp\(\left(SNI\right)\) gọi \(P=NG\cap SK\).
Trong mp\(\left(SBD\right)\) gọi \(Q=MP\cap BD.\)
Trong mp\(\left(ABCD\right)\) kéo dài NQ cắt \(AB;\, \, CD\) lần lượt tại\( L;\, \, T\).
Trong mp\(\left(SCD\right)\) gọi \(V=MT\cap SC\) và trong mp\(\left(SAB\right)\)
gọi \(Z=LG\cap SA.\)
Ta có
\(\left(MNG\right)\cap \left(SAB\right)=ZL \)
\(\left(MNG\right)\cap \left(ABCD\right)=LN\)
\(\left(MNG\right)\cap \left(SBC\right)=NV\)
\(\left(MNG\right)\cap \left(SCD\right)=NM\)
\(\left(MNG\right)\cap \left(SDA\right)=MZ\)
Khi đó ta được thiết diện cần tìm là ngũ giác MVNLZ.