Cho hàm số y=f(x)=(1+x+x22!+x33!+...+x20202020!+x20212021!). .(1−x+x22!−x33!+...+x20202020!−x20212021!)

Question

Cho hàm số \(y=f\left(x\right)=\left(1+x+\frac{x^{2} }{2!} +\frac{x^{3} }{3!} +...+\frac{x^{2020} }{2020!} +\frac{x^{2021} }{2021!} \right)\)\(\left(1-x+\frac{x^{2} }{2!} -\frac{x^{3} }{3!} +...+\frac{x^{2020} }{2020!} -\frac{x^{2021} }{2021!} \right)\) 
Gọi a là giá trị lớn nhất của hàm số \(y=f\left(x\right) \). trên đoạn \( \left[-1\, ;2\right] \) Khẳng định nào sau đây đúng?

\(A. a\in \left(0\, ;3\right]. \)
\(B. a\in \left(-\, \infty \, ;-1\right]. \)
\(C. a\in \left(3\, ;+\, \infty \right). \)
\(D. a\in \left(-1\, ;0\right].\)

 

Answer 1

Lời giải

Chọn A

Đặt \(m=1+x+\frac{x^{2} }{2!} +\frac{x^{3} }{3!} +...+\frac{x^{2020} }{2020!} \)
\(n=1-x+\frac{x^{2} }{2!} -\frac{x^{3} }{3!} +...+\frac{x^{2020} }{2020!} . \)
Ta có \(f'\left(x\right)=\left(1+x+\frac{x^{2} }{2!} +\frac{x^{3} }{3!} +...+\frac{x^{2020} }{2020!} \right).\left(1-x+\frac{x^{2} }{2!} -\frac{x^{3} }{3!} +...+\frac{x^{2020} }{2020!} -\frac{x^{2021} }{2021!} \right)+\)
\(+\left(1+x+\frac{x^{2} }{2!} +\frac{x^{3} }{3!} +...+\frac{x^{2020} }{2020!} +\frac{x^{2021} }{2021!} \right).\left(-1+x-\frac{x^{2} }{2!} +\frac{x^{3} }{3!} -...-\frac{x^{2020} }{2020!} \right). \)
\(f'\left(x\right)=m\left(n-\frac{x^{2021} }{2021!} \right)-n\left(m+\frac{x^{2021} }{2021!} \right)=-\frac{x^{2021} }{2021!} \left(m+n\right). \)
\(m+n=2\left(1+\frac{x^{2} }{2!} +\frac{x^{4} }{4!} +...+\frac{x^{2020} }{2020!} \right)>0,\forall x\in {\rm R}.  f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=0\in \left(-1;2\right). \)
Bảng biến thiên

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số\( y=f\left(x\right) trên đoạn \left[-1\, ;2\right]\) bằng 1.