Gọi \(\Delta\) là đường phân giác trong kẻ từ A của \(\Delta ABC.\)
Gọi \(B',D',P_{1}\) lần lượt là ảnh của B,D,P qua phép đối xứng trục \(\Delta \).
Gọi P' là ảnh của P qua phép đối xứng trục AC và \(P_{2}\) là ảnh của \(P_{1}\) qua phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow{B'C}\). Suy ra \(P',P_{2}\) cố định.
Gọi f là phép dời hình tạo ra khi thực hiện liên tiếp phép đối xứng trục \(\Delta\) và phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow{B'C}.\)
Vì D'B' là ảnh của DB qua phép đối xứng trục \(\Delta\) nên D'B'=DB=EC \(\Rightarrow \overrightarrow{D'B'}=\overrightarrow{EC}\) .
Mà \(\overrightarrow{D'E}=\overrightarrow{D'B'}+\overrightarrow{B'E}=\overrightarrow{B'E}+\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{B'C} \Rightarrow {\mathop{T}\nolimits_{\overrightarrow{B'C}}} (D')=E \Rightarrow f(D)=E\).
Kết hợp với \(f\left(P\right)=P_{2} \Rightarrow PD=P_{2} E \Rightarrow PD+PE=EP_{2} +EP=EP_{2} +EP'\ge P_{2} P'\) .
Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow E\equiv E_{0} =P_{2} P'\cap AC . \)
Khi đó \(D'\equiv D_{0} {}^{{'} } =T_{\overrightarrow{CB'}} (E_{0} )\) và \(D\equiv D_{0} =Đ{}_{\Delta } (D_{0} {}^{{'} } ).\)
Vậy \(Min(PD+PE)=P_{2} P'\) đạt được khi \(D\equiv D_{0}\) và \(E\equiv E_{0} .\)
trannhat900 
phamngoctienpy1987844 
vxh2k9850 
Nqoc_baka 