Cho P nằm trong tg ABC. Xét D trên AB và E trên AC sao cho BD=CE. Hãy xác định D,E sao cho PD+DE nhỏ nhất.

Question

Cho điểm P nằm trong tam giác ABC. Xét D trên cạnh AB và E trên cạnh AC sao cho BD=CE. Hãy xác định vị trí của D,E sao cho PD+DE nhỏ nhất.

 

Answer 1

Gọi \(\Delta\)  là đường phân giác trong kẻ từ A của \(\Delta ABC.\)

Gọi \(B',D',P_{1}\)  lần lượt là ảnh của B,D,P qua phép đối xứng trục \(\Delta .\)

Gọi P' là ảnh của Pqua phép đối xứng trục ACvà \(P_{2}\)  là ảnh của \(P_{1}\)  qua phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow{B'C}.\) Suy ra P',\(P_{2}  \)cố định.

Gọi f là phép dời hình tạo ra khi thực hiện liên tiếp phép đối xứng trục\( \Delta\)  và phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow{B'C}.\)

Vì D'B' là ảnh của DB qua phép đối xứng trục \(\Delta\)  nên \(D'B'=DB=EC \Rightarrow \overrightarrow{D'B'}=\overrightarrow{EC} .\)

Mà \(\overrightarrow{D'E}=\overrightarrow{D'B'}+\overrightarrow{B'E}=\overrightarrow{B'E}+\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{B'C} \Rightarrow {\mathop{T}\nolimits_{\overrightarrow{B'C}}} (D')=E \Rightarrow f(D)=E.\)

Kết hợp với \(f\left(P\right)=P_{2} \Rightarrow PD=P_{2} E \Rightarrow PD+PE=EP_{2} +EP=EP_{2} +EP'\ge P_{2} P' .\)

Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow E\equiv E_{0} =P_{2} P'\cap AC . \)

Khi đó \(D'\equiv D_{0} {}^{{'} } =T_{\overrightarrow{CB'}} (E_{0} ) và D\equiv D_{0} =Đ{}_{\Delta } (D_{0} {}^{{'} } ).\)

Vậy \(Min(PD+PE)=P_{2} P' đạt được khi D\equiv D_{0}  và E\equiv E_{0} . \)