Tìm tất cả các giá trị của tham số m để từ điểm A(2/3 ;0) kẻ đến đồ thị hàm số y=5/6x^3 +mx-2m/3...

Question

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để từ điểm \(A\left(\frac{2}{3} ;0\right)\) kẻ đến đồ thị hàm số \(y=\frac{5}{6} x^{3} +mx-\frac{2m}{3}\)  hai tiếp tuyến vuông góc.

\(A. m=\frac{1}{2} ,m=2. \)

\(B.m=-\frac{1}{2} ,m=-2. \)

\(C. m=\frac{1}{2} ,m=-2. \)

\(D.m=-\frac{1}{2} ,m=2\)

Answer 1

Chọn B

Ta có: \(y'=\frac{5}{2} x^{2} +m\). Gọi \(M\left(x_{0}^{} ;\frac{5}{6} x_{0}^{3} +mx_{0}^{} -\frac{2m}{3} \right)\) 

là tọa độ tiếp điểm của \(\left(C\right)\)

Khi đó phương trình tiếp tuyến của \(\left(C\right)\) tại M là

\(y=\left(\frac{5}{2} x_{0}^{2} +m\right)\left(x-x_{0}^{} \right)+\frac{5}{6} x_{0}^{3} +mx_{0}^{} -\frac{2m}{3} \)

Do tiếp tuyến đi qua điểm \(A\left(\frac{2}{3} ;0\right)\)nên ta có:

\(\left(\frac{5}{2} x_{0}^{2} +m\right)\left(\frac{2}{3} -x_{0} \right)+\frac{5}{6} x_{0}^{3} +mx_{0} -\frac{2m}{3} =0\)

\(\Leftrightarrow -\frac{5}{3} x_{0}^{3} +\frac{5}{3} x_{0}^{2} =0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x_{0} =0} \\ {x_{0} =1} \end{array}\right. .\)

Để hai tiếp tuyến vuông góc với nhau thì điều kiện là:

\(y'\left(0\right).y'\left(1\right)=-1\Leftrightarrow m.\left(m+\frac{5}{2} \right)=-1\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {m=-\frac{1}{2} } \\ {m=-2} \end{array}\right. .\)