​ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng (P) thay đổi qua CD ...

Question

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng \(\left(P\right)\) thay đổi qua CD và cắt các đoạn thẳng SA,SB lần lượt tại M và N.

a) Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng \(\left(P\right)\) là hình gì?

b) Gọi K là giao điểm của CN và DM. Chứng minh K chạy trên một tia cố định.

c) Gọi I là giao điểm của CM và DN. Chứng minh rằng điểm I thuộc một đoạn thẳng cố định. 

 

Answer 1

a) Ta có:
- \(M=SA\cap \left(P\right)\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {M\in \left(P\right)} \\ {M\in SA\subset \left(SAB\right)} \end{array}\right. \) 

\(\Rightarrow M\in \left(P\right)\cap \left(SAB\right)\qquad \left(1\right)\)
- \(N=SB\cap \left(P\right)\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {N\in \left(P\right)} \\ {N\in SB\subset \left(SAB\right)} \end{array}\right. \)

\(\Rightarrow N\in \left(P\right)\cap \left(SAB\right)\qquad \left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) suy ra \(\left(P\right)\cap \left(SAB\right)=MN.\)

 Mà  \(\left\{\begin{array}{l} {AB{\rm //}CD} \\ {AB\subset \left(SAB\right)} \\ {CD\subset \left(P\right)} \\ {\left(SAB\right)\cap \left(P\right)=MN} \end{array}\right.\)  nên \(MN{\rm //}AB{\rm //}CD.\)

Dễ thấy \(\left(P\right)\cap \left(SAD\right)=MD\) và \(\left(P\right)\cap \left(SBC\right)=NC\)

suy ra thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng \(\left(P\right) \)

là hình thang MNCD.

b) Ta có:

-  \(\left\{\begin{array}{l} {BC\subset \left(SBC\right)} \\ {AD\subset \left(SAD\right)} \\ {BC{\rm //}AD} \\ {S\in \left(SBC\right)\cap \left(SCD\right)} \end{array}\right. \Rightarrow \left(SBC\right)\cap \left(SCD\right)=d\)

thỏa \(\left\{\begin{array}{l} {d{\rm //}AD{\rm //}BC} \\ {S\in d} \end{array}\right.   \)

- \(\left\{\begin{array}{l} {CN\cap DM=K} \\ {CN\subset \left(SBC\right)} \\ {DM\subset \left(SAD\right)} \end{array}\right. \Rightarrow K\in \left(SBC\right)\cap \left(SAD\right)=d \)

Giới hạn: Xét trong mặt phẳng \(\left(SBC\right)\), khi N chạy trên đoạn

SB thì K chạy trên tia \(Sx\subset d \) thuộc nửa mặt phẳng bờ

là SC chứa điểm B và dễ thấy Sx cố định.

c)   Trong mặt phẳng \(\left(ABCD\right)\): gọi O giao điểm của AC và BD.
 

Ta có \(\left\{\begin{array}{l} {O\in AC\subset \left(SAC\right)} \\ {O\in BD\subset \left(SBD\right)} \end{array}\right. \Rightarrow O\in \left(SAC\right)\cap \left(SBD\right)\)

và \(S\in \left(SAC\right)\cap \left(SBD\right)  \)

Suy ra: \(SO=\left(SAC\right)\cap \left(SBD\right).\)
\(I=MC\cap DN\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {I\in MC\subset \left(SAC\right)} \\ {I\in ND\subset \left(SBD\right)} \end{array}\right.\)

\( \Rightarrow I\in \left(SAC\right)\cap \left(SBD\right)=SO.\)
Giới hạn: Trong mặt phẳng \(\left(SBD\right)\),

khi N chạy trên đoạn SB thì I chạy trên đoạn SO, dễ thấy SO là cố định.