Cho hàm số y=xsinx+2tan^2 x/x^2,x<0 cos^2 x+2a,x≥0 .Với giá trị nào của a thì hàm số trên liên tục tại x=0

Question

Cho hàm số \(y=\left\{\begin{array}{l} {\frac{x\sin x+2\tan ^{2} x}{x^{2} } ,\, \, \, x<0} \\ {\cos ^{2} x+2a\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, ,\, \, \, x\ge 0\, \, } \end{array}\right.\) .Với giá trị nào của a thì hàm số trên liên tục tại x=0.

A.-1.

B.0.

C.1.

D.2.

Answer 1

ChọnC

Ta có

\({\mathop{\lim }\limits_{x\to 0^{-} }} y={\mathop{\lim }\limits_{x\to 0^{-} }} \left(\frac{x\sin x+2\tan ^{2} x}{x^{2} } \right)={\mathop{\lim }\limits_{x\to 0^{-} }} \left(\frac{\sin x}{x} +2\left(\frac{\tan x}{x} \right)^{2} \right)=3. \)

\({\mathop{\lim }\limits_{x\to 0^{+} }} y={\mathop{\lim }\limits_{x\to 0^{+} }} \left(\cos ^{2} x+2a\right)=1+2a\)

và \(y\left(0\right)=1+2a.\)

Hàm số liên tục tại x=0 khi

\({\mathop{\lim }\limits_{x\to 0^{+} }} y={\mathop{\lim }\limits_{x\to 0^{-} }} y=y\left(0\right)\Leftrightarrow 3=1+2a\Leftrightarrow a=1.\)