Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z+3|+|z-3|=10 là đường elip

Question

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn \({\rm |}z+3|+|z-3|=10\) là đường elip

\(A. \frac{x^{2} }{25} +\frac{y^{2} }{9} =1. \)

\(B. \frac{x^{2} }{16} +\frac{y^{2} }{25} =1. \)

\(C. \frac{x^{2} }{25} +\frac{y^{2} }{16} =1. \)

\(D. \frac{x^{2} }{16} +\frac{y^{2} }{9} =1.\)

Answer 1

Ta chọn câu C

Gọi \(z=x+yi;x,y\in {\rm R}\). Khi đó điểm biểu diễn số phức z là \(M\left(x;y\right).\)

Ta có
\(\begin{array}{l} {{\rm |z+3|+|z-3|=10}} \\ {\Leftrightarrow \left|\left(x+3\right)+yi\right|+\left|\left(x-3\right)+yi\right|=10} \\ {\Leftrightarrow \sqrt{\left(x+3\right)^{2} +y^{2} } +\sqrt{\left(x-3\right)^{2} +y^{2} } =10} \end{array} \)
\(\Leftrightarrow MA+MB=10 \) với \(A\left(-3;0\right);B\left(3;0\right).\)

Do đó, M thuộc đường elip có

\(c=3;a=5\Rightarrow b^{2} =a^{2} -c^{2} =25-9=16.\)

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn

\({\rm |}z+3|+|z-3|=10\) là đường elip \(\frac{x^{2} }{25} +\frac{y^{2} }{16} =1.\)