Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn √2|z+i|=|z+1| là đường tròn

Question

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn \(\sqrt{2} \left|z+i\right|=\left|z+1\right|\) là đường tròn

\(A. \left(x+1\right)^{2} +\left(y+2\right)^{2} =4.\)

\(B. \left(x+2\right)^{2} +\left(y-1\right)^{2} =2.\)

\(C. \left(x-1\right)^{2} +\left(y+2\right)^{2} =4. \)

\(D. \left(x+1\right)^{2} +\left(y-2\right)^{2} =4.\)

Answer 1

Ta chọn câu C

Gọi \(z=x+yi \) trong đó \(x,y\in R\)

Ta có: \(\left|z+i\right|=\left|x+\left(y+1\right)i\right|=\sqrt{x^{2} +\left(y+1\right)^{2} }  \left|z+1\right|\)

\(=\left|\left(x+1\right)+yi\right|=\sqrt{\left(x+1\right)^{2} +y^{2} }  \)
Suy ra:
\(\begin{array}{l} {\sqrt{2} \left|z+i\right|=\left|z+1\right|} \\ {\Leftrightarrow \sqrt{2} \sqrt{x^{2} +\left(y+1\right)^{2} } =\sqrt{\left(x+1\right)^{2} +y^{2} } } \\ {\Leftrightarrow 2\left(x^{2} +y^{2} +2y+1\right)=x^{2} +2x+1+y^{2} } \\ {\Leftrightarrow x^{2} +y^{2} -2x+4y+1=0} \\ {\Leftrightarrow \left(x-1\right)^{2} +\left(y+2\right)^{2} =4} \end{array} \)
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn

\(\sqrt{2} \left|z+i\right|=\left|z+1\right| \) là đường tròn \(\left(x-1\right)^{2} +\left(y+2\right)^{2} =4.\)

Vậy Ta chọn câu C.