Số nghiệm của phương trình 4z^2+8|z|-3=0 trên tập số phức?

Question

Số nghiệm của phương trình \(4z^{2} +8\left|z\right|-3=0\) trên tập số phức?

A. 4 

B. 2 

C. 3 

D. 6

Answer 1

Ta chọn câu D   

Gọi số phức \(z=x+yi\left(x,y\in R\right).\)

Ta có \(4z^{2} +8\left|z\right|-3=0\Leftrightarrow 4\left(x+yi\right)^{2} +8\sqrt{x^{2} +y^{2} } -3=0\)
\(\Leftrightarrow 4x^{2} -4y^{2} +8xyi+8\sqrt{x^{2} +y^{2} } -3=0\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {4x^{2} -4y^{2} +8\sqrt{x^{2} +y^{2} } -3=0} \\ {8xy=0} \end{array}\right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} {4x^{2} -4y^{2} +8\sqrt{x^{2} +y^{2} } -3=0} \\ {\left[\begin{array}{c} {x=0} \\ {y=0} \end{array}\right. } \end{array}\right. \)
Trường hợp 1: x=0
\(4x^{2} -4y^{2} +8\sqrt{x^{2} +y^{2} } -3=0\Leftrightarrow 4.0^{2} -4y^{2} +8\sqrt{0^{2} +y^{2} } -3=0\)
\(\Leftrightarrow 8\left|y\right|=4y^{2} +3\)\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{c} {\left|y\right|=\frac{3}{2} } \\ {\left|y\right|=\frac{1}{2} } \end{array}\right.\)\( \Leftrightarrow \left[\begin{array}{c} {y=\pm \sqrt{\frac{3}{2} } } \\ {y=\pm \sqrt{\frac{1}{2} } } \end{array}\right. \)
Trường hợp 2: y=0
\(4x^{2} -4y^{2} +8\sqrt{x^{2} +y^{2} } -3=0\Leftrightarrow 4.x^{2} -4.0^{2} +8\sqrt{x^{2} +0^{2} } -3=0\)
\(4x^{2} +8\left|x\right|-3=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {\left|x\right|=\frac{-2+\sqrt{7} }{2} } \\ {\left|x\right|=\frac{-2-\sqrt{7} }{2} <0(loại)} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{c} {x=\frac{-2+\sqrt{7} }{2} } \\ {x=\frac{2-\sqrt{7} }{2} } \end{array}\right. \)
Vậy phương trình có 6 nghiệm phức.

Cách 2: 

Ta có \(4z^{2} +8\left|z\right|-3=0\Leftrightarrow 4z^{2} =3-8\left|z\right| (1). \)

Đặt \(t=\left|z\right|\ge 0\). Lấy mođun 2 vế của \((1)\), ta có: 
\(\begin{array}{l} {4t^{2} =\left|3-8t\right|\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {4t^{2} +8t-3=0} \\ {4t^{2} -8t+3=0} \end{array}\right. } \\ {\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {t=\frac{-2+\sqrt{7} }{2} \left(TM\right)} \\ {t=\frac{-2-\sqrt{7} }{2} <0\left(KTM\right)} \\ {t=\frac{3}{2} \left(TM\right)} \\ {t=\frac{1}{2} \left(TM\right)} \end{array}\right. } \end{array}\)
Với mỗi giá trị \(t\ne \frac{3}{8}\) , từ \((1)\) suy ra có 2 số phức z.

Vậy có 6 số phức thỏa mãn.