Cho số phức z thoả mãn đồng thời 2 ĐK |z-3-4i|=√5 và M=|z+2|^2 -|z-i|^2 đạt giá trị lớn nhất. Mô đun số phức z-2-i

Question

Cho số phức z thoả mãn đồng thời hai điều kiện |z-3-4i|=√5 và biểu thức M=|z+2|^2 -|z-i|^2 đạt giá trị lớn nhất. Môđun của số phức z-2-i bằng

Answer 1

\(z = a + bi (a,b\in \mathbb{R})\)

Đề cho: \(\left | z-3-4i \right | = \sqrt{5}\)

\(\Rightarrow (a-3)^{2} + (b+4)^{2} =5\) (1)

Đề cho: \(M = \left | z+2 \right |^{2} - \left | z-i \right |^{2} = \left [ (a+2)^{2}+b^{2} \right ]-\left [ a^{2}+(b-1)^{2} \right ] \)

\(\Rightarrow 4a + 2b +3-M=0\) (2)

\(\Rightarrow d(I;\bigtriangleup ) \leq R; I(3;4), R = \sqrt{5}\)

Để tồn tại số phức z  thì (1) và (2) có điểm chung là M 

\(\Rightarrow \frac{\left | 4.3 + 2.4 + 3 - M \right |}{\sqrt{4^{2}+2^{2}}}\leq \sqrt{5}\)

\(\Rightarrow 13 \leq M\leq 33 \Rightarrow M_{max} = 33\) khi và chỉ khi

\(\left\{\begin{matrix} 4x+2y-3-33=0 & \\ (x-3)^{2}+(y-4)^{2} = 5 & \end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y=15-2x & \\ (x-3)^{2}+(11-2x)^{2} = 5 & \end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y=5 & \\ x= 5 & \end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow z = 5+5i \Rightarrow z + i = 5+6i\Rightarrow z+i=\sqrt{61}\)