\(z = a + bi (a,b\in \mathbb{R})\)
Đề cho: \(\left | z-3-4i \right | = \sqrt{5}\)
\(\Rightarrow (a-3)^{2} + (b+4)^{2} =5\) (1)
Đề cho: \(M = \left | z+2 \right |^{2} - \left | z-i \right |^{2} = \left [ (a+2)^{2}+b^{2} \right ]-\left [ a^{2}+(b-1)^{2} \right ] \)
\(\Rightarrow 4a + 2b +3-M=0\) (2)
\(\Rightarrow d(I;\bigtriangleup ) \leq R; I(3;4), R = \sqrt{5}\)
Để tồn tại số phức z thì (1) và (2) có điểm chung là M
\(\Rightarrow \frac{\left | 4.3 + 2.4 + 3 - M \right |}{\sqrt{4^{2}+2^{2}}}\leq \sqrt{5}\)
\(\Rightarrow 13 \leq M\leq 33 \Rightarrow M_{max} = 33\) khi và chỉ khi
\(\left\{\begin{matrix}
4x+2y-3-33=0 & \\
(x-3)^{2}+(y-4)^{2} = 5 &
\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
y=15-2x & \\
(x-3)^{2}+(11-2x)^{2} = 5 &
\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
y=5 & \\
x= 5 &
\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow z = 5+5i \Rightarrow z + i = 5+6i\Rightarrow z+i=\sqrt{61}\)